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Lotto mit Zurücklegen

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

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13:28 Uhr, 11.10.2022

Hallo, ich soll bei Lotto "6 aus 45" die Wahrscheinlichkeiten für 5 bzw. 6 richtig gezogenen einmal ohne und einmal mit Zurücklegen miteinander vergleichen. Für den Fall ohne Zurücklegen lässt sich ja einfach die Hypergeometrische Verteilung verwenden.
Beim Fall mit Zurücklegen bin ich mir aber sehr unsicher. Ich würde das einfach händisch durchgehen, also:

ℙ [6 e r] = \frac{6}{45} * \frac{5}{45} * \frac{4}{45} * \frac{3}{45} * \frac{2}{45} * \frac{1}{45} = 8, 67 * 1 0^{- 8}

ℙ [5 e r] = \frac{1}{45} * (39 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 + 6 * 40 * 5 * 4 * 3 * 2 + 6 * 5 * 41 * 4 * 3 * 2

+ 6 * 5 * 4 * 42 * 3 * 2 + 6 * 5 * 4 * 3 * 43 * 2 + 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 44) = 2, 1 * 1 0^{- 5}

Ist das prinzipiell so richtig?

Mir ist nämlich auch eine andere Möglichkeit eingefallen den 6er zu berechnen, nämlich als Kombination mit Zurücklegen. Allerdings wird ja bei der Kombination auch der Fall vom mehrfach Ankreuzen (zB 6mal die 7 angekreuzt) mitgezählt.

Würdet ihr sagen, dass die Angabe so ein mehrfach Ankreuzen erlaubt oder eher weiterhin verboten sein soll wie bei ohne Zurücklegen?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

14:02 Uhr, 11.10.2022

Es sind doch stets 39 Nichtgewinn-Zahlen. Wieso tauchen dann in deiner 5er Rechnung die Zahlen 40..44 auf? Dort muss stets 39 stehen, d.h. letztendlich nach Zusammenfassung

P [5 e r] = \frac{6}{4 5^{6}} \cdot 39 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2

.

P.S.: "Lotto MIT Zurücklegen" - sehr ungewöhnlich... :-)

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14:11 Uhr, 11.10.2022

Wenn es stets 39 Nichtgewinn-Zahlen wären, dann würde das bedeuten, dass ich Zahlen mehrfach ankreuzen darf. Ich bin aber jetzt davon ausgegangen, dass die Angabe so zu verstehen ist, dass man Zahlen weiterhin nur maximal einmal ankreuzen sollte und sich nur das Zurücklegen ändert.
Nach der ersten richtigen Zahl

\frac{6}{45}

hätte ich somit 40 Nieten, weil ich die erste nicht nochmal ankreuzen durfte.

Bin mir aber unsicher wie genau die Angabe schlussendlich gemeint ist.

4 5^{6}

gehört natürlich in den Nenner, danke!

HAL9000

16:24 Uhr, 11.10.2022

Ja Ok, bei Lotto denke ich unwillkürlich immer an automatisch sechs unterschiedliche Zahlen, aufgrund von "ohne Zurücklegen".

Daher müssen wir wohl zunächst klären, was du bei "mit Zurücklegen" unter einem 5er verstehst:

Wenn wir (der Einfachheit halber) die Gewinnzahlen 1,2,3,4,5,6 haben, dann ist deiner Ansicht nach wohl z.B. sowas wie 1,2,3,4,4,6 auch ein 5er, oder?

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19:39 Uhr, 11.10.2022

ohne Zurücklegen:

\frac{(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 39 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 45 \\ 6 \end{matrix})}

\frac{1}{(\begin{matrix} 45 \\ 6 \end{matrix})}

Hypergeometrische Verteilung

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02:33 Uhr, 12.10.2022

@HAL9000:
Ja genau, für mich wäre 1,2,3,4,4,6 dann ein 5er.

@supporter:
Der Fall "ohne Zurücklegen" war eigentlich nicht das Problem, aber danke!

Roman-22

04:33 Uhr, 12.10.2022

>

Ja genau, für mich wäre

1,2,3,4,4,6

dann ein 5er.

Dann ist dein Ergebnis (mit Ausnahme der vergessenen Hochzahl

6)

in deinem ersten Post richtig

\to P (g e n a u 5 r i c h t i g e) = \frac{1328}{61509375} \approx 0,002159 %

Eigentlich wären ja

1,2,3,4,4,6

die gezogenen Zahlen. Der "5er" sind die angekreuzten Zahlen

1,2,3,4,5,6

auf dem Lottoschein.
Dabei wird angenommen, dass zwar bei der Ziehung Zahlen mehrfach auftreten können, nicht aber bei den Zahlen die man am Lottoschein ankreuzt. Die Gestaltung des Lottoscheins wäre sonst doch recht aufwändig und umständlich.

HAL9000

09:57 Uhr, 12.10.2022

Ich hab nach wie vor Problem mit dem Verständnis dieses Lottos: Wenn tatsächlich das hier

> Dabei wird angenommen, dass zwar bei der Ziehung Zahlen mehrfach auftreten können, nicht aber bei den Zahlen die man am Lottoschein ankreuzt.

gelten soll, dann hängt doch die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser davon ab, was für Zahlen gezogen werden!!! D.h., wenn in der Ziehung Zahlen mehrfach vorkommen, dann ist für die Spieler ÜBERHAUPT KEIN Sechser mehr möglich!!! Ich bitte daher das ganze Konzept nochmal zu prüfen, bevor hier weiter bei "Lotto mit Zurücklegen" unüberlegt rumgerechnet wird.

Roman-22

12:35 Uhr, 12.10.2022

Ich seh das Problem jetzt nicht - abgesehen davon, dass das Spiel in dieser eigentümlichen Variante noch unattraktiver wäre als es das normale Lotto ohnedies schon ist.
Man kreuzt sechs verschiedene Zahlen an und fragt nach der WKT, dass diese 6 bei der späteren Ziehung gezogen werden.
Dass bei der der Ziehung wieder zurückgelegt wird, bedeutet doch "nur", dass die WKT für einen Gewinn gegenüber dem normalen Lotto deutlich geringer ist, weil es eben auch Ziehungsausgänge gibt, bei denen niemand (mit einem Sechser) gewinnen kann. Alle möglichen Kombination zu spielen wäre bei dieser Lottovariante also keine Garantie für einen Sechser, weil man durch die Beschränkung auf sechs verschiedene Zahlen ja gar nicht auf alle möglichen Spielausgänge wetten kann. Wenn bei der Ziehung ein eine Zahl mehrfach auftritt weiß man eben sofort ohne weitere Recherche, dass es in dieser Runde keinen Sechser gegeben haben kann und der Jackpot für die nächste Runde erhöht wird.

HAL9000

13:41 Uhr, 12.10.2022

Ich finde es irgendwie seltsam, dass Ziehungsergebnisse zugelassen sind, die man nicht tippen kann. Wenn schon, dann sollte es konsequenterweise auch für die Tipper zugelassen sein, Zahlen mehrfach anzukreuzen - und wenn es noch so kompliziert in der Tippscheingestaltung ist. Das wird dann richtig lustig, die ganzen Gewinnvarianten und deren Wahrscheinlichkeiten aufzuschlüsseln. :-)

Roman-22

15:38 Uhr, 12.10.2022

Ja, sehe ich ähnlich. Wäre schon ein sehr merkwürdiges Spiel. Würde aber vielleicht dennoch seine Anhänger finden, da die Gewinnausschüttungen durch den anzunehmenderweise rascher wachsenden Jackpot vielleicht recht hoch wären.
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bei einem Spiel, bei dem auch die Tipps Mehrfachzahlen aufweisen dürfen, habe ich nur ganz kurz angedacht und wieder beiseite gelegt. Das scheint in der Tat ziemlich "lustig" zu werden ;-)

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