Lotvektor und normalenvektor

Hallo, also bisher habe ich den Lot Vektor kennen Gelernt bei Vektoren mit 2 Komponenten, und zwar so: ${\displaystyle {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\to }=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}$ ${\displaystyle {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{*\to }=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)}$

Wie wird dieser gebildet bei 3 Komponenten. Und wie kann ich den Normalenvektor einer Ebene bestimmen? Also die bedinung ist mir klar. ${\displaystyle {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^{\to }*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\to }=0}$ sowie ${\displaystyle {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^{\to }*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\to }=0}$ wobei u1 und u2 die Spannvektoren der Ebene darstellen. Hierraus ergibgt sich aber ein gleichungs system mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten Wie löse ich so etwas. Neben bei das Kreuzprodukt ist mir bekannt. Wir haben noch kurz gelernt wie es gebildet wird. Als ich den Normalenvektor von Ebene gegoogelt habe, war auch etwas mit Kreuz/Vektorprodukt zu lesen. Ist das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren = dem normalen vektor? also. U1xU2=n

Ok super vielen dank.

Und zu den unendlich vielen Möglichkeiten:

Also löse ich z.b ${\displaystyle {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0}$ auf n1 auf und setzte das in die 2. Gleichung ein. dann habe ich noch 2 Unbekannte (n2|n3) jetzt suche ich mir einen Wert aus für eine der beiden (beliebig?) z.b. n3=1 und rechne dann n2 aus. Damit könnte ich dann n1 ausrechnen. Und hab so einen korrekten n Vektor?

Gemeint waren, 2 richtungs vektoren mit 3 Komponenten (U,V) und N der Normalenvektor der beiden. Also ${\displaystyle {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0}$ und ${\displaystyle {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0}$ das war gemeint. u1,u2,u3 stellen die komponenten des einen Spannvektors (U) dar. Ob ich mir jetzt n1,n2 oder n3 bestimme ist egal?