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Lp-Räume separabel

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Funktionalanalysis, Lebesgue, MATH, Mathematik, separabel

hallomathehallo aktiv_icon

17:59 Uhr, 08.05.2021

Hallo!

Sei

K \subset ℝ^{n}

kompakt. Im folgenden betrachte das Lebesgue-Maß

λ

.

Ich möchte zeigen, dass

L^{p} (K)

für

1 \leq p < \infty

separabel ist.

Ich bin mir aber nicht sicher wie... Also ich habe eben zeigen können, dass der Raum

C^{0} (K)

der stetigen Funktionen auf

K

separabel ist. Hiezu habe ich den Satz von Weierstraß benutzt, welcher sagt, dass die algebraischen Polynome

P

dicht in

C^{0} (K)

sind bzgl. ||*||_oo. Somit also

\bar{P} = C^{0} (K)

und

P = = l i n {x^{n} | n \in ℕ_{0}}

. Ein Satz aus der Vorlesung sagt, falls

A \subset X

abzählbar und

X = \bar{l i n (A)}

so ist

X

separabel. Also ist gezeigt, dass

(C^{0} (K), {| | \cdot | |}_{\infty})

separabel ist. Für die Normen

{| | \cdot | |}_{p}

mit

1 \leq p < \infty

gilt es auch, da man

{| | \cdot | |}_{p}

gegen

{| | \cdot | |}_{\infty}

geeignet abschätzen kann:

{| | p - f | |}_{p} = {(\int_{K} {| p (x) - f (x) |}^{p} d x)}^{1 / p} \leq λ {(K)}^{1 / p} \cdot {| | p - f | |}_{\infty} < ε

.

Nun liegt

C^{0} (K)

dicht in

L^{p} (K)

. Weshalb auch

P

dicht in

L^{p} (K)

liegen müsste richtig...? Aber selbst das konnte ich noch nicht zeigen. Im Internet steht meistens nur, dass die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger dicht in

L^{p} (K)

liegen und dann wird damit gearbeitet. Diesen Raum haben wir aber noch nie behandelt. Ein weiterer Ansatz wäre natürlich eine abzählbare dichte Teilmenge anzugeben. Vielleicht sowas in der Art?:

{\sum_{k = 1}^{n} α_{i} χ_{A_{i}} | α_{i} \in ℚ; ⋃_{i} A_{i} = K}

Wobei ich auch hier glaube, dass noch Bedingungen an die

A_{i}

fehlen... Aber man könnte irgendwie damit argumentieren, dass ja

ℚ

dicht in

ℝ

ist und auch damit, dass jedes

f \in L^{p} (K)

der Grenzwert einer Folge solcher Funktionen ist.

Vielleicht könnt ihr mir ja ein paar Tipps geben! Danke und LG!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:07 Uhr, 09.05.2021

"Nun liegt C0(K) dicht in Lp(K). Weshalb auch P dicht in Lp(K) liegen müsste richtig...? Aber selbst das konnte ich noch nicht zeigen."

Dabei ist das elementar.
Wenn A dicht in B und B dicht in C liegt, nehmen einen beliebigen

x

aus

C

. Es gibt ein

y

aus

B

, so dass

d (x, y) < ε / 2

. Zu diesem

y

gibt's ein

z

A

, so dass

d (y, z) < ε / 2

. Aus der Dreiecksungleichung folgt

d (x, z) < ε

. Also ist

A

dicht in

C

.
Das Argument gilt in jedem metrischen Raum. d ist die Metrik.

hallomathehallo aktiv_icon

15:21 Uhr, 09.05.2021

Vielen Dank! Das mit der Transitivität der Dichtheit wusste ich. Ich meinte, dass ich nicht zeigen konnte, dass

C^{0} (K)

dicht in

L^{p} (K)

ist... Keine Ahnung wie ich dass anstellen soll...

DrBoogie aktiv_icon

15:30 Uhr, 09.05.2021

Ein sauberer Beweis ist ziemlich technisch.
Aber wozu brauchst du es?
Es ist doch klar, dass jede Funktion in

L_{p}

durch Stufenfunktionen approximierbar ist. Und Stufenfunktionen kann man halt dabei mit rationalen Werten und rationalen Grenzen der Intervalle wählen. Womit

L_{p}

separabel ist.

DrBoogie aktiv_icon

15:33 Uhr, 09.05.2021

K

muss übrigens kein Kompakt sein.

Du kannst den Beweis auch hier nachlesen (Theorem 3.4).
http://www.math.nthu.edu.tw/~kchen/teaching/5131week2.pdf

hallomathehallo aktiv_icon

16:46 Uhr, 09.05.2021

Danke vielmals! Ich habe tatsächlich noch eine andere Aufgabe, dessen Ergebnisse ich nutzen kann: Die menge

{s \in L^{p} (K) | s

einfach und messbar

}

ist dicht in

L^{p} (K)

. So sollte ich es hinbekommen :-)

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