Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lückenwert

Lückenwert

Schüler

Tags: Aufgabe

Christian- aktiv_icon

23:15 Uhr, 21.01.2016

Hallo, ich habe das Thema begriffen und gleich eine Aufgabe gerechnet

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie den Lückenwert

\land = lim_{x \to x_{0}}

mit

x_{o} \notin D

f (x) = \frac{1 - cos (x) + 2 \cdot sin (x)}{x}

Ich habe jetzt den Zähler auf Nullstellen untersucht.

Also kommt für

x_{0} = 0

Heraus
Setze ich

1 - cos (0) + 2 \cdot sin (0) = 0

dann kommt das heraus
also ist

x_{0} = 0

also schickt man

lim

gegen diesen Wert 0.

lim_{x \to 0} =

Lückenwert

- - - - - - - - - -

Jetzt müssen wir den zähler und nenner ableiten, 2 mal sollte reichen. für zähler benutze ich ein

z

und für Nenner ein

N

z (x) = 1 - cos (x) + 2 \cdot sin (x)

Das mit dem Ableiten von sin und

cos

habe ichverstanden, ich stelle mir einfach

sin, cos, - sin, - cos, sin ... .

. im uhrzeigersinn vor.

z' (x) = sin (x) + 2 \cdot cos (x)

z'' (x) = cos (x) - 2 \cdot sin (x)

-->zwei bleibt da;-)
Jetzt setze ich diesen Wert

x_{0} = 0

für

x

ein in die erste und zweite Ableitung von

z

z' (o) = sin (0) + 2 \cdot cos (0) = 2

z'' (0) = cos (0) - 2 \cdot sin (0) = 1

Jetzt für den Nenner das gleiche.

N (x) = x

N' (x) = 1

N'' (x) = 0

- - - - - - - - - -

Jetzt für

N'

und

N''

den Wert null einsetzen.

N' (o) =

bleibt 1 schätze ich

N'' (x) = 0

Jetzt müsste man

z'

und

N'

dividieren, um die y-Komponente des Lückenwertes herauszufinden.

lim_{x \to 0} \frac{z' (x)}{N' (x)} = \frac{sin (x) + 2 \cdot cos (x)}{1} \Rightarrow

den Wert für

x_{0}

einsetzen, da wir es ausgerechnet haben!!!

\frac{z' (0)}{N' (0)} = 2

Also müsste der Lückenwert=

(0 | 2)

sein???
Welchen Buchstaben nimmt man für Lückenwert?

L

oder?

Stimmt das so, was ich mir zusammengezaubert habe?
Danke euch für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Ma-Ma aktiv_icon

00:28 Uhr, 22.01.2016

Hallo Christian,
diese Aufgabe ist ein Dreizeiler

. .

1)

Prüfe, ob man hier L'Hospital anwenden darf.

2)

Wenn ja, dann nutze die Regel von L'Hospital

. .

.

LG Ma-Ma

PS: Und ja, der Punkt

P (0 | 2)

stopft das Loch

. .

Christian- aktiv_icon

00:44 Uhr, 22.01.2016

Wenn das Ergebnis stimmt, warum soll ich dann L'Hospital anwenden?

Ma-Ma aktiv_icon

00:56 Uhr, 22.01.2016

Du hast IRGENDWAS gerechnet

. .

. zwei Ableitungen gebildet

. .

.
Warum ? Sind diese zwei Ableitungen hier notwendig ?
Darf man diese Ableitungen zur Grenzwertberechnung nutzen?

Grenzwertsätze und L'Hospital zeigen Dir, WAS von Deinen Rechnungen Sinn macht

. .

.
LG Ma-Ma

Nachtrag: L'Hospital sind Basics in der Schulmathematik (Kl.11)

...

.

Tipp: L'Hospital und die Bedingungen findest Du in Deiner FS.

Christian- aktiv_icon

01:06 Uhr, 22.01.2016

,,Du hast IRGENDWAS gerechnet

. .

. zwei Ableitungen gebildet

. .

.
Warum ?

''

...,,IRGENDWAS...''

Ich hab nicht ''''IRGENDWAS''''(frei nach dem Motto, ich hätte keine Ahnung was ich da mache) gerechnet, sondern das richtige gerechnet, mit einem Verstand dahinter.
Ich gehe morgen auf alles Weitere ein, muss jetzt schlafen. Gute nacht und träum süß.

Ma-Ma aktiv_icon

01:20 Uhr, 22.01.2016

"frei nach dem Motto, ich hätte keine Ahnung was ich da mache"
Jepp, das ist teilweise der Fall.

"Ich habe jetzt den Zähler auf Nullstellen untersucht."
Wieso denn das ? Ist doch überhaupt nicht notwendig.
Der Zähler darf doch Null werden

. .

.

Besser: Welche x-Werte darf der NENNER nicht annehmen. DAS ist interessant!

LG Ma-Ma

Christian- aktiv_icon

06:22 Uhr, 22.01.2016

Guten Morgen, nein ist es nicht, es ist nicht der Fall xDD

,,"Ich habe jetzt den Zähler auf Nullstellen untersucht."
Wieso denn das ? Ist doch überhaupt nicht notwendig.
Der Zähler darf doch Null werden

...''

Ja, er darf null werden, oder habe ich behauptet, er soll nicht null sein?

auf nullstellen habe ich den Graph untersucht, um zu schauen, ob es sich um eine stetig hebbare Definitionslücke handelt. Deswegen die untersuchung auf nullstellen, vo daher doch wichtig:-) für mich wichtig, wenn es für dich nicht wichtig ist, dann okey.

Ja, es ist interessant zu erfahren, wo die Nullstellen im Nenner sind.
Wenn die Nullstelle als beispiel für den Nenner 0 ist, dann setzt man oben in den Zähler genau diese 0 ein und schaut, ob da null herauskommt. Kommt da 0 nicht heraus, ist es eine Polstelle, würde aber eine 0 herauskommen, würde eine hebbare Definitionslücke da sein.

Und die 0 ist eine Definitionslücke.

Ich würde ganz unauffällig deine Annahmen überdenken, wenn du denkst, ich hätte keine Ahnung und rechne blind wie ein Fisch im Nutellaglas.

Respon

08:19 Uhr, 22.01.2016

Folgende Funktion soll untersucht werden:

f (x) = \frac{1 - cos (x) + 2 \cdot sin (x)}{x}

Wegen der Variable

x

im Nenner

\Rightarrow D = ℝ \ {0}

.
Da der Zähler des Bruchterms für

x = 0

ebenfalls den Wert 0 annimt, erhalten wir - vorerst - für

f (0)

einen "unbestimmten Ausdruck", der zu unterscheiden ist von einem "undefiniertem Ausdruck".

lim -

Betrachtung:

lim_{x \to 0} \frac{1 - cos (x) + 2 \cdot sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{sin (x) + 2 \cdot cos (x)}{1} = 2

( Eine Unterscheidung von linksseitigem und rechtsseitigem

lim

ist hier nicht notwendig, kann aber bei anderen Funktionen von Bedeutung sein. )
Wir können nachträglich eine "stetige Fortsetzung" durchführen und festsetzen:

f (0) = 2

Dadurch wird der Definitionsbereich - de facto - auf

ℝ

erweitert, der Definitonsbereich der ursprünglichen Funktion ist aber nach wie vor

ℝ \ {0}

.

Zur Begriffsklärung:
de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_%28Mathematik%29#Definition
de.wikipedia.org/wiki/Fortsetzung_%28Mathematik%29#Stetige_Fortsetzung

abakus

13:19 Uhr, 22.01.2016

"Nachtrag: L'Hospital sind Basics in der Schulmathematik (Kl.11) ...."

Vor 30 Jahren vielleicht...

Ich möchte den Lehrplan eines Bundeslandes sehen, wo so etwas überhaupt noch vorhanden ist.

Christian- aktiv_icon

19:01 Uhr, 22.01.2016

Hi Respon, das ganze habe ich auch so berechnet, nur ausführlicher.
Gast62, ich bin ganz deiner Meinung.

Damit hat sich diese Aufgabe

Christian- aktiv_icon

19:04 Uhr, 22.01.2016

Ah und noch was zur Wikipedia. Für jemanden, der sich gerade in den Stoff eingelesen hat, ist Wikipedia nicht geeignet, da diese viel zu tiefgreifend ist. Lieber eine Seite als Vorschlag geben, dass erstmal die Basics klärt.

Atlantik ist da sehr gut , solche Seiten zu finden. Das gefällt mir.

1284801

1284654

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?