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Lyapunovfunktion finden

Universität / Fachhochschule

13:15 Uhr, 28.03.2020

Auf der 2-Sphäre

S^{2}

habe ich das System

x ʹ = x (- x + f (x, y, z))

y ʹ = y (x - y + f (x, y, z))

z ʹ = z (y - z + f (x, y, z))

wobei

f (x, y, z) = x^{3} - x y^{2} + y^{3} - y z^{2} + z^{3}

.

Dieses System hat u.a. das Gleichgewicht

G = (a, 2 a, 3 a)

mit

a = \sqrt{\frac{1}{14}}

. Es ist das einzige Gleichgewicht in der Teilmenge

M := {(x, y, z) \in S^{2} : x, y, z > 0}

.

Ich würde gerne zeigen, daß

G

auf

M

global stabil ist.

Hat jemand eine Idee für eine Lyapunov-Funktion

V

?

Ich finde keine!

Habe die Funktion

V (x, y, z) = α (x - a)^{2} + β (x - 2 a)^{2} + γ (z - 3 a)^{2}

für geeignet gewählte

α, β, γ > 0

vorzuschlagen. Sie ist positiv definit auf

M

. Aber ist

V ʹ

auch negativ definit auf

M

V ʹ

ist gegeben durch

V ʹ (x, y, z) = 2 α (x - a) (- x^{2} + x f) + 2 β (y - 2 a) (x y - y^{2} + y f) + 2 γ (z - 3 a) (y z - z^{2} + z f)

und die Frage ist, ob

V ʹ < 0

auf

M \ {G}

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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