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Lyapunovfunktion finden

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Lyapunovfunktionen, Stabilität

 
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Punov

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13:15 Uhr, 28.03.2020

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Auf der 2-Sphäre S2 habe ich das System

xʹ=x(-x+f(x,y,z))

yʹ=y(x-y+f(x,y,z))

zʹ=z(y-z+f(x,y,z))

wobei f(x,y,z)=x3-xy2+y3-yz2+z3.

Dieses System hat u.a. das Gleichgewicht G=(a,2a,3a) mit a=114. Es ist das einzige Gleichgewicht in der Teilmenge M:={(x,y,z)S2:x,y,z>0}.

Ich würde gerne zeigen, daß G auf M global stabil ist.

Hat jemand eine Idee für eine Lyapunov-Funktion V?

Ich finde keine!

Habe die Funktion V(x,y,z)=α(x-a)2+β(x-2a)2+γ(z-3a)2 für geeignet gewählte α,β,γ>0 vorzuschlagen. Sie ist positiv definit auf M. Aber ist Vʹ auch negativ definit auf M?

Vʹ ist gegeben durch

Vʹ(x,y,z)=2α(x-a)(-x2+xf)+2β(y-2a)(xy-y2+yf)+2γ(z-3a)(yz-z2+zf)

und die Frage ist, ob Vʹ<0 auf M\{G}.



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