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# Lyapunovfunktion finden

## Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Lyapunovfunktionen, Stabilität

13:15 Uhr, 28.03.2020

Auf der 2-Sphäre ${S\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}$ habe ich das System

$x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}ʹ=x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(-x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)$

$y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}ʹ=y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)$

$z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}ʹ=z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)$

wobei $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)={x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{3}-x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}{y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}+{y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{3}-y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}{z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}+{z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{3}$.

Dieses System hat u.a. das Gleichgewicht $G\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\left(a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},2a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},3a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ mit $a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\sqrt{\frac{1}{14}}$. Es ist das einzige Gleichgewicht in der Teilmenge $M\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}:=\left\{\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\in {S\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}:x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}>0\right\}$.

Ich würde gerne zeigen, daß $G\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ auf $M\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ global stabil ist.

Hat jemand eine Idee für eine Lyapunov-Funktion $V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$?

Ich finde keine!

Habe die Funktion $V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)=\alpha \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}{\right)}^{2}+\beta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-2a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}{\right)}^{2}+\gamma \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-3a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}{\right)}^{2}$ für geeignet gewählte $\alpha \phantom{\rule{0.12em}{0ex}},\beta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}},\gamma \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}>0$ vorzuschlagen. Sie ist positiv definit auf $M\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. Aber ist $V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}ʹ$ auch negativ definit auf $M\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$?

$V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}ʹ$ ist gegeben durch

$V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}ʹ\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)=2\alpha \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\left(-{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}+x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)+2\beta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-2a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-{y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}+y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)+2\gamma \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-3a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\left(y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-{z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}+z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$

und die Frage ist, ob $V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}ʹ<0$ auf $M\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\\left\{G\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right\}$.

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