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M lin.abhg., wenn N echte Teilmg von M und <N>=<M>
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Vektorräume
Tags: Erzeugniss und Erzeugendensystem, Lineare Unabhängigkeit, Teilmenge, Vektorraum
 
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Hallo! Bei der folgenden Frage komme ich einfach nicht weiter. Sei eine Teilmenge des K-Vektorraums V. Zeigen Sie, dass genau dann linear abhängig ist, wenn es eine echte Teilmenge von gibt, so dass ist. Also mein Ansatz: müsste ja schonmal kleiner als sein, dh mindestens ein Vektor, den ich mit darstellen kann, kann ich nicht mit darstellen. lässt sich so darstellen: lässt sich so darstellen: und weil aus ist kann ich doch auch so darstellen: Und wenn linear abhängig sein soll muss gelten wobei . So das weiß ich, ob es richtig weiß ich nicht und ich weiß vorallem jetzt nicht weiter... Kann jemand helfen?! |
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Hallo, leider müssen wir vorher zuerst klären, ob die Menge endlich ist oder auch unendlich sein darf. Für den endlichen Fall hast du schon sinnvoll begonnen, aber offenbar nicht völlig erfasst, was lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit bedeutet. Beantworte bitte zuerst die Rückfrage. Dann schreib mal auf, was linear unabhängig (oder auch linear abhängig) für dich bedeutet. Mfg Michael |
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Hmm...also eigentlich darf doch auch unendlich sein, oder?! In der Aufgabe steht ja nur, dass eine Teilmenge des K-Vektorraums sein soll. Der K-Vektorraum ist unendlich und da keine echte Teilmenge sein soll, kann doch auch unendlich sein. Lineare Abhängigkeit bedeutet, dass sich in einem Vektorraum der Nullvektor nur durch eine Linearkombination darstellen lässt, indem man die Koeffizienten null setzt. Das bedeutet auch, dass sich kein Vektor durch andere Vektoren darstellen lässt. Und bildlich gesehen hab ich beispielseise drei Vektoren und versuche einmal im Dreieck zu gehen. Das gelingt mir nur bei lienarer Abhängigkeit. Bei Unabhängigkeit komme ich zwar auch bei meinem Ausgangspunkt an, gehe aber quasi nicht los. Also wenn ich bei einer Linearkombination nur die triviale Lösung habe, um den Nullvektor darzustellen, liegt eine lineare Unabhängigkeit vor. |
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Hallo, na, das klingt eigentlich ganz vernünftig. Man könnte es auch so sagen, dass man bei linear abhängigen Vektoren, einen der Vektoren durch eine Linearkombination der anderen zu ersetzen. Eine unendliche Menge ist ja bekanntlich (viele nehmen das als Definition für lineare Unabhängigkeit) dann linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge es ist. Ist nun also eine (evtl. unendliche) linear anhängige Teilmenge, so gibt es eine also eine endliche linear abhängige Teilmenge von . Und dann solltest du an diesen Ersetzungsgedanken von oben denken. Das ist des Pudels Kern. Mfg Michael |
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