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ML-Schätzer bestimmen, erwartungstreu + konsistent

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, ML-Schätzer

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10:06 Uhr, 31.01.2018

(a)

Es seien

X_{1}, ..., X_{n}

iid mit Dichte

f (x) = \frac{1}{ϑ} \cdot e^{- \frac{x}{ϑ}} \cdot I_{(0, \infty)} (x)

mit unbekanntem Parameter

ϑ \in Θ = ℝ^{+}

(das ist eine Exp(1/\vartheta)-Verteilung). Bestimme den ML-Schätzer

v a r t e h t a (^)

für

ϑ

. Ist dieser erwartungstreu? Ist er konsistent?

(b)

Mit den Daten aus

(a)

soll die Nullhypothese

H_{0} : ϑ = ϑ_{0}

gegen die Alternative

H_{1} : ϑ \neq ϑ_{0}

getestet werden (für ein gegebenes

ϑ_{0})

. Wie kann man einen sinnvollen Hypothesentest bestimmen, der Niveau

α \in (0, 1)

hat?
Hinweis: Es darf verwendet werden, dass

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}

die Dichte

g_{ϑ} (x) = \frac{1}{ϑ^{n} (n - 1)!} \cdot x^{n - 1} \cdot e^{- \frac{x}{ϑ}} \cdot I_{(0, \infty)} (x)

besitzt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:21 Uhr, 31.01.2018

Hast Du schon so was gelesen?
http://www.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio1011/printout1208.pdf

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11:45 Uhr, 31.01.2018

Ja, habe ich. Trotzdem weiß ich nicht, wie man an die Aufgaben rangehen soll.

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11:57 Uhr, 31.01.2018

Likelihood-Funktion aufschreiben.
Wie - findest Du im Link. Da steht sie schon quasi fertig.

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12:18 Uhr, 31.01.2018

Danach kannst Du die Erwartungstreue einfach direkt zeigen und für die Konsistenz nutze den passenden Punkt auf der 2. Seite:
www.empiwifo.uni-freiburg.de/lehre-teaching-1/winter-term-11-12/materialien-oekonometrie/eigenschaften

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12:19 Uhr, 31.01.2018

Meinst du das, was in der Mitte von Folie

30

steht in der pdf (Mathematik für Biologen)?

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12:23 Uhr, 31.01.2018

Ja, die Funktion steht auf der Seite 30.
Und der Schätzer selber steht auf der Seite 31.
Ich frage mich, warum Du denn gesagt hast, dass Du das gelesen hast, wenn Du mir solche Fragen stellst.
Ich empfehle dringend, dass Du diese Herleitung versuchst wirklich zu verstehen.

tonilein aktiv_icon

20:50 Uhr, 04.02.2018

Könntest du mir bitte bitte bei den beiden Aufgaben helfen? Könntest du vielleicht ein paar Lösungswege aufschreiben? Würde mir echt sehr helfen? Es ist wirklich dringend. Ich bitte dich.

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10:45 Uhr, 05.02.2018

Im 1. Link ist auf der Seite 30 und 31 die Herleitung von ML-Schätzer für

λ

.
Dieser Schätzer ist

\frac{n}{X_{1} + . . . + X_{n}}

.
Du brauchst den Schätzer für

ϑ

, was per Definition

1 / λ

ist. Daher ist

\frac{X_{1} + . . . + X_{n}}{n}

der ML-Schätzer dafür.
Er ist erwartungstreu, denn

E (\frac{X_{1} + . . . + X_{n}}{n}) = \frac{E (X_{1}) + . . . + E (X_{n})}{n} = ϑ

, denn jede

X_{i}

hat den EW

1 / λ = ϑ

.
Er ist auch konsistent, denn er ist erwartungstreu und die Varianz von ihm ist

V a r (\frac{X_{1} + . . . + X_{n}}{n}) = \frac{1}{n^{2}} (V a r (X_{1}) + . . . + V a r (X_{n})) = ϑ^{2} / n

, was gegen

0

konvergiert - die Konsistenz folgt aus der Anmerkung im 2. Link, Seite 2.

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10:53 Uhr, 05.02.2018

Zu b) kann ich Folgendes sagen:

wenn Du den Graph von

g_{ϑ_{0}}

zeichnest, wirst Du sehen, dass er wie eine schiefe Glocke aussieht, mit dem Maximum im Punkt

ϑ_{0} (n - 1)

. Wenn man jetzt für eine gegebenes

α

die Zahlen

A

und

B

so finden würde, dass

A < ϑ_{0} (n - 1) < B

und

\int_{A}^{ϑ_{0} (n - 1)} g_{ϑ_{0}} = 1 - α / 2

und

\int_{ϑ_{0} (n - 1)}^{B} g_{ϑ_{0}} = 1 - α / 2

gilt, so hat man mit

[A, B]

den "Annahmebereich". Also, wenn

X_{1} + . . . + X_{n}

den Wert außerhalb von

[A, B]

annimmt, wird die Nullhypothese verworfen, sonst nicht.
Die Werte

A

und

B

kann man durch Integration berechnen, falls nötig (hoffentlich nicht, ist mühsam).

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