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MacLaurin-Reihe und Konvergenzradius

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, Konvergenzradius, MacLaurin-Reihe

Hensi aktiv_icon

23:46 Uhr, 11.03.2023

Gegeben ist die Funktion

f (x) = sin (x) + {sin}^{2} (x)

a)

Wie lautet die MacLaurin-Reihe 3. Ordnung von

f (x)

b)

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der in der letzten Teilaufgabe aufgestellten
MacLaurin-Reihe.

Das sind die beiden Aufgabe:

die

e)

habe ich gelöst und kam auf:

f (x) = sin (x) +

sin²(x)

f' (x) = cos (x) +

2sin(x)cos(x)

= cos (x) + sin (2 x)

f'' (x) = - sin (x) +

2cos²(x)

+

2sin²(x)

= 2 - sin (x)

f''' (x) = - cos (x)

Ich hoffe die sind richtig.
Für die Reihe dann

\to f (x) = x +

x² - x³/6

Für den Konvergenzradius weiß ich, dass man dafür

r =

lim┬(n→∞)⁡|aₙ/aₙ₊₁| verwendet.

Doch jetzt weiß ich nicht weiter, wie man es in diesem Beispiel annimmt, da es ja glaub nicht allgemein auf die Reihe sondern nur die mit 3 Gliedern.

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

00:06 Uhr, 12.03.2023

Hallo
Die Teilaufgabe

e)

hast du uns nicht verraten.
Ich ahne, du wolltest die

a) . .

.

Wer erst mal ein wenig Routine mit Reihen hat, der nutzt für Standard-Funktionen wie sin nicht fehleranfällig die Ableitungen.
Wenn du zur Kontrolle mal einen anderen Weg nehmen willst, gugg doch mal in deine Formelsammlung,

\to

Taylorreihe sin-Funktion.

Dann solltest du dir und ggf. uns noch klar machen, wo dein Entwicklungspunkt liegt.
Aus deiner Vorgehensweise - und eigentlich auch bzgl. meinem Tipp oben - gehe ich davon aus, dass du im Entwicklungspunkt

x_{0} = 0

entwickeln willst.

Dann ja, deine Reihenentwicklung sieht vielversprechend aus.
Na ja, eine formale Kleinigkeit noch:
ich würde nicht verwechslungsanfällig sowohl die Original-Funktion als auch deren abgekürzte Reihenentwicklung mit dem selben Bezeichner "f(x)" versehen, denn die sind ja eben nicht gleich...

Hensi aktiv_icon

00:11 Uhr, 12.03.2023

Ja, genau. Ich meinte die

a)

Mein Entwicklungsstelle ist

= 0,

da es sich um eine Maclaurin-Reihe handelt.

Gut, dass diese schon Mal so weit passen.

Wüsstest du auch, wie ich beim Konvergenzradius weiterkomme?

Hensi aktiv_icon

00:11 Uhr, 12.03.2023

Ja, genau. Ich meinte die

a)

Mein Entwicklungsstelle ist

= 0,

da es sich um eine Maclaurin-Reihe handelt.

Gut, dass diese schon Mal so weit passen.

Wüsstest du auch, wie ich beim Konvergenzradius weiterkomme?

calc007

00:14 Uhr, 12.03.2023

Ja, ich hatte vergessen, den Konvergenzradius zu kommentieren.

Ich teile deine Unsicherheit.
Lautet die Aufgabenstellung

b)

wirklich wörtlich so?

Dann bezieht sich dieses
"in der letzten Teilaufgabe"
wohl auf

a)

und damit auf die Reihe 3.Ordnung.
Und ich gebe dir recht. Das ist eine Parabel dritter Ordnung. Und die hat rein formal eigentlich keine Konvergenzschwierigkeiten über

ℝ

Hensi aktiv_icon

00:15 Uhr, 12.03.2023

Ja, die Aufgabe lautet genau so.

HAL9000

10:14 Uhr, 12.03.2023

> Wer erst mal ein wenig Routine mit Reihen hat, der nutzt für Standard-Funktionen wie sin nicht fehleranfällig die Ableitungen.

Richtig. Und das ist im vorliegenden Fall besonders einfach, wenn man zusätzlich noch das per Additionstheorem gültige

\sin^{2} (x) = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

sowie dann die Sinus- und Kosinus-Reihen nutzt:

f (x) = \sin (x) + \frac{1 - \cos (2 x)}{2} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k + 1)!} x^{2 k + 1} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 2^{2 k - 1}}{(2 k)!} x^{2 k}

Hensi aktiv_icon

10:49 Uhr, 12.03.2023

Okay, danke!

Und wie überprüfe ich den Konvergenzradius?

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