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Mächtigkeit bestimmen mittles Inklusion-Exklusion

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Inklusion-Exklusion

Tags: Inklusion-Exklusion

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20:42 Uhr, 10.11.2018

Hi Mathe-Fans,

ich habe hier eine Aufgabe zum Thema Inklusion-Exklusion:

Bestimmen Sie die Anzahl

A

der Abbildungen [6] = {1,2,3,4,5,6} auf sich selber, deren Wertemenge [3] = {1,2,3} als Teilmenge enthält, also

A = ∣

{

f : [6] \mapsto [6] : [3] \subseteq

{

f (x) : x \in [6]

}}

∣

Jetzt würde ich erstmal allgemein wissen, wie ihr diese Menge A versteht. Für mich sind dort alle Permutationen enthalten, die 1,2,3 enthalten. Ein Element könnte bespielsweise

(1, 2, 3, 4, 4, 4) \in A

sein, aber

(5, 5, 5, 5, 5, 5) \notin A

.

In habe in meiner Ahnnungslosigkeit einfach mal einen Grundraum definiert aus 6-Tupeln:

Ω = {ω = (ω_{0}, . . ., ω_{5}) : ω_{i} \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Die Mächtigkeit von

Ω

bestimme ich über diese kombinatorische Formel:

∣ Ω ∣ = n^{k} = 6^{6} = 46656

So weit so gut. Ich will jetzt

∣ A ∣

über

∣ Ω \ \overline{A} ∣

berechnen, bin mir aber nicht sicher wie ich

\overline{A}

bemessen kann.

Ich hoffe, ich habe alles verständlich aufschreiben können....

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

21:30 Uhr, 10.11.2018

Zunächst mal ist A kein Menge, sondern soll laut deiner Angabe eine Zahl sein, nämlich

11340 -

die Anzahl der Elemente in der namenlosen Menge, die du mit A verwechselst.

Und dann handelt es sich nicht um Permutationen, sondern um Variationen mit Wiederholung.

Laut Angabe sollst du doch das Prinzip von Inklusion und Exklusion verwenden.

Also ausgehend von allen möglichen Variationen

\to 6^{6}

ziehen wir mal alle ab, bei denen mindestens eine der drei Zahlen

1, 2

oder 3 fehlt

\to 3 \cdot 5^{6}

Da wir nun aber zu viel abgezogen haben (wir haben zB

(1,4,4,5,6)

doppelt und

(4,5,6,4,5,6)

sogar dreifach gezählt) müssen wir wieder was dazu geben

\to 3 \cdot 4^{6}

Und das war nun wieder zu viel des Guten und daher müssen wir noch

3^{6}

(die 6-tupel ganz ohne

1,2

und

3)

subtrahieren.

Macht dann eben

A = 6^{6} - 3 \cdot 5^{6} + 3 \cdot 4^{6} - 3^{6} = 11340

NotAMatheGenie aktiv_icon

22:11 Uhr, 10.11.2018

Hey Roman-22,

danke für deine Antwort. Wie immer ein Augenöffner: So wie A definiert ist handelt es sich um eine Zahl, ja. Ich nur die Mengendefinition gesehen und den Kardinalitätsoperator

∣ {. .} ∣

komplett ignoriert.

Ist eigentlich die letzte Teilmenge (die ganz ohne 1,2,3) eigentlich echte Teilmenge der Mengen, der Elemente die wir doppelt und dreifach gezählt haben?

Hast du eventuell ein paar Tipps zum Thema Kombinatorik auf Lager, denn ich vertue mich fast immer mit den Formeln und finde keine gute Herangehensweise an die Materie.

Vielen Dank

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