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Mächtigkeit von Vektorräumen

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

matheass14 aktiv_icon

16:21 Uhr, 25.01.2015

Hallo, ich habe die folgende Aufgabe:

Es sei K ein Körper mit p Elementen. Beweisen Sie:

a) Die Anzahl der Elemente in der Gruppe

G L (n, K)

ist

# (G L (n, K)) := \prod_{ν = 0}^{n - 1} (p^{n} - p^{ν})

b) Die Anzahl der Elemente in der Gruppe

S L (n, K)

ist

\frac{1}{p - 1} # (G L (n, K))

Bei uns beinhaltet GL alle invertierbaren Matrizen und SL alle Matrizen mit Determinante gleich 1.

Bei der a) habe ich gedacht, dass es für n=

p^{0}

Matrizen gibt mit det(A)=0 (dann wäre der einzige Eintrag null) und für n=1 entsprechend

p^{1}

usw.

Aber wie beweist man das?

Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

17:08 Uhr, 25.01.2015

Und wie kommst du auf das was du gedacht hast? Ich kann das nicht bestätigen. Für

n = 1

hast du doch nur genau eine "Matrix" mit Determinante null und zwar das Nullelement aus

K

also gibt es somit

p - 1

Elemente in

G L (1, K)

. Tatsächlich ist

p - 1 = \prod_{v = 0}^{1 - 1} (p^{1} - p^{v})

wie die Aufgabenstellung vorgibt.
Für

n = 2

überlege so: Die erste Spalte darf zunächst mal jeder Vektor sein außer der Nullvektor. Also hast du

p^{2} - 1

Möglichkeiten die erste Spalte zu besetzen. Um jetzt Invertierbarkeit "beizubehalten" darf die zweite Spalte nicht linear abhängig zur ersten sein, also kein Vielfaches von dieser sein. Folglich gibt es

p

Vektoren die du nicht in die zweite Spalte schreiben darfst. Übrig bleiben

p^{2} - p

Möglichkeiten für Spalte zwei. Insgesamt sind das

(p^{2} - 1) (p^{2} - p)

Möglichkeiten und das stimmt auch mit

\prod_{v = 0}^{2 - 1} (p^{2} - p^{v})

überein.
In den Fällen

n \geq 3

klappt eine analoge Argumentation. Die jeweils neue Spalte darf nicht im Span der vorherigen Spalten liegen.

matheass14 aktiv_icon

17:26 Uhr, 25.01.2015

Ja natürlich, ich habe ja geschrieben, dass es nur eine Matrix gibt, die nicht invertierbar ist, also muss es

p - 1

Elemente geben für n=1. Danke für die Antwort.

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17:39 Uhr, 25.01.2015

Ich habe das so interpretiert, dass du meintest es gäbe für

n = 1

genau

p

Matrizen mit

det (A) = 0

.
Aber ist ja jetzt auch egal.

matheass14 aktiv_icon

17:50 Uhr, 25.01.2015

Bei der b) hat man ja für die erste Spalte nur eine Möglichkeit, deshalb fällt

p^{1} - p^{0} = p - 1

einfach weg, oder?

Es gilt ja:

\frac{\prod_{ν = 0}^{n - 1} (p^{n} - p^{ν})}{p - 1}

\prod_{ν = 1}^{n - 1} (p^{n} - p^{ν})

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18:17 Uhr, 25.01.2015

Wie kommst du darauf, dass es dann für die erste Spalte nur eine Möglichkeit gibt?
Ich hätte jetzt eher versucht mir zu überlegen, dass jedes der

p - 1

Nichtnullelemente aus

K

gleich oft als Determinante einer Matrix aus

K^{n \times n}

auftreten muss. Damit folgt

b)

auch sofort aus

a)

.
PS: Deine Gleichheit ist (im Allgemeinen) Quark, da du

p^{n} - 1

mit

p - 1

kürzt...

matheass14 aktiv_icon

18:39 Uhr, 25.01.2015

Ja, da hab ich nicht überlegt. :-)

..."dass jedes der p−1 Nichtnullelemente aus K gleich oft als Determinante einer Matrix aus

K^{n \times n}

auftreten muss."

Warum muss das denn gelten? Gilt das auch in allen anderen Vektorräumen?

Shipwater aktiv_icon

18:57 Uhr, 25.01.2015

Finde eine geeignete Bijektion. Was meinst du mit "allen anderen Vektorräumen"?

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