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Mächtigkeit zweier offener Intervalle in R

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: gleichmächtigkeit, Intervall

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11:19 Uhr, 08.11.2014

Hallo.

Ich soll für zwei nichtleere offene Intervalle in

R

zeigen, dass diese gleichmächtig sind.

Wenn ich in Foren suche, steht da immer nur mit zwei gleichartigen Intervallen ist es sehr einfach,aber ich komm trotzdem nicht dahinter.

Ich muss mir ja eine bijektive Abbildung suchen oder ist diese Annahme falsch ? Und wenn ja, wie mache ich das dann?

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

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11:23 Uhr, 08.11.2014

Versuch zunächst eine Bijektion zwischen

(0,1)

und

(a, b)

(mit

a < b)

anzugeben, das ist erstmal übersichtlicher.

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13:06 Uhr, 08.11.2014

Und wie mache ich das?
Mir ist überhaupt nicht klar, wie das bei einem offenen Intervall funktioniert.

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13:09 Uhr, 08.11.2014

Du findest sogar eine Gerade, die das Gewünschte tut... Mache also den Ansatz

f (x) = m x + c

und rechne

m

und

c

mit den Bedingungen

f (0) = a

und

f (1) = b

aus. Eigentlich braucht man nichtmal rechnen, wenn man bisschen Erfahrung hat sieht man gleich wie man ansetzen kann.

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19:05 Uhr, 08.11.2014

2 x

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19:24 Uhr, 08.11.2014

Meinst du nicht das Ergebnis müsste von

a

und

b

abhängen?

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13:57 Uhr, 09.11.2014

Ich komm nicht mit was du meinst?!

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14:04 Uhr, 09.11.2014

f_{a, b} : (0,1) \to (a, b), x \mapsto (1 - x) \cdot a + x \cdot b

ist eine Bijektion zwischen

(0,1)

und

(a, b)

Jetzt kannst du auch leicht eine Bijektion zwischen

(a, b)

und

(c, d)

finden.

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15:58 Uhr, 09.11.2014

Kannst du mir vl die Lösung verraten?
Ich verstehe den Zusammenhang im Moment gar nicht.

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16:06 Uhr, 09.11.2014

Dann hat das hier alles keinen Sinn. Lies dir erstmal die nötige Theorie dazu durch.

abakus

16:10 Uhr, 09.11.2014

Hallo, Bijektionen sind transitiv.
Wenn es eine Bijektion zwischen (0,1) und (a,b) gibt und du auch eine Bijektion zwischen (0,1) und (c,d) herstellen kannst, existiert auch eine Bijektion zwischen (a,b) und (c,d).

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16:11 Uhr, 09.11.2014

Ich hab meine Theorieunterlagen schon durchgelesen.
So eine Formel ist darin aber nicht zu finden.

Ist das dann

(c - x) \cdot a + x \cdot b

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16:14 Uhr, 09.11.2014

Ich hab die Bijektion von

(0,1)

nach

(a, b)

nicht umsonst als

f_{a, b}

bezeichnet. Wenn du jetzt Bijektion von

(a, b)

nach

(c, d)

suchst kannst du ja einfach

(a, b)

nach

(0,1)

und dann

(0,1)

nach

(c, d)

abbilden, also

f_{c, d} \circ f_{a, b}^{- 1}

tut es. Das darfst du jetzt aber selbst berechnen.

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16:15 Uhr, 09.11.2014

Heißt das dann wenn ich zeigen kann dass

(1 - x) \cdot a + x \cdot b

und

(1 - x) \cdot c + x \cdot d

(stimmt das?)
dass ich daraus dann schließen kann, dass es eine Bijektion zwischen diesen 2 offenen Intervallen gibt?

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16:20 Uhr, 09.11.2014

f_{c, d} \circ f_{a, b}^{- 1} : (a, b) \to (c, d)

ist eine Bijektion zwischen

(a, b)

und

(c, d)

. Du brauchst das nur noch auszurechnen, wenn du sehen willst wie die Bijektion konkret aussieht.

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16:27 Uhr, 09.11.2014

Ich versteh leider nur Bahnhof.

Ich weiß weder wie du auf diese Bijektion zwischen

(0,1)

und

(a, b)

kommst noch wie ich ich

f

nach

f

berechnen soll? Kommt da nicht id raus?

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16:31 Uhr, 09.11.2014

Ich hab dir oben gesagt wie du die Bijektion rechnerisch ermitteln kannst. Und nein da kommt nicht die Identität raus, zumindest nicht wenn

(a, b) \neq (c, d)

. Dass jede Menge durch id bijektiv auf sich selbst abgebildet wird, sollte klar sein...

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16:33 Uhr, 09.11.2014

Es tut mir sehr leid wenn ich zu dumm bin, aber ich versteh es nicht.

Liege ich richtig wenn ich sage

f (a) = c

und

f (b) = d

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16:44 Uhr, 09.11.2014

Ja du brauchst die Gerade, die folgende Bedingungen erfüllt. Mit den Überlegungen von oben:

f_{c, d} : (0,1) \to (c, d), x \mapsto (d - c) x + c

f_{a, b}^{- 1} : (a, b) \to (0,1), x \mapsto \frac{x - a}{b - a}

f_{c, d} \circ f_{a, b}^{- 1} : (a, b) \to (c, d), x \mapsto (d - c) \frac{x - a}{b - a} + c

Letzteres ist also deine gesuchte Bijektion.

abakus

16:46 Uhr, 09.11.2014

Wenn du in die Vorschrift f(x)=x*b+(1-x)*a den Wert 0 einsetzt, erhältst du a, und wenn du für x 1 einsetzt, erhältst du b. (Beides darf man allerdings hier nicht, weil man je das offene Intervall OHNE die beiden Werte an den Intervallrändern haben will.
Wenn du für x aber eine Zahl zwischen 0 und 1 einsetzt, bekommst du einen Wert zwischen a und b heraus. Da die Funktion monoton wachsend ist, bekommst du auch für zwei verschiedene Werte x aus (0,1) auch garantiert auch verschiedne Werte aus (a,b) - es ist eben eine Bijektion.

19ma95 aktiv_icon

16:48 Uhr, 09.11.2014

Jetzt bin ich restlos verwirrt.
Stimmt die angegebene Bijektion jetz nicht?

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17:06 Uhr, 09.11.2014

Du solltest dich mal konkreter ausdrücken, in diesem Thread stehen doch jetzt schon etliche Bijektionen.

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