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Majoranten- Minoranten- Leibnitzkriterium

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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09:42 Uhr, 08.05.2014

Hallo OnlineMathe-Gemeinde,

ich hab da so meine Probleme mit dem Majorantenkriterium ( an

\leq

bn ) dem Minorantenkriterium ( an

\geq

bn ) und das Leibnizkriterium (-1)*an .

Bei Majoranten und Minoranten verstehe ich einfach nicht wie man die Summe so umformt das man auf eine Summe kommt die tatsächlich konvergent ist, ich hab ein paar Beispiele angeschaut und auch ein paar Leute gefragt ob sie mir das erklären können aber keiner konnte mir genau sagen wieso und weshalb, alles irgendwie willkürlich für mich.

Leibnizkriterium erkenne ich natürlich durch die alternierende Reihe und wies das man das

(- 1)

weglässt und dann an+1 - an rechnet aber wieso und auf was läuft das hinaus, was will ich damit erreichen?

Wäre schön wenn es mir einer mit eigenen Worten und mit einem Beispiel erklären könnte!

Danke! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:10 Uhr, 08.05.2014

Zeige dann die Beispiele, welche Du nicht verstehst.

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15:27 Uhr, 08.05.2014

Sorry hatte gerade Vorlesung!

Also zum Beispiel so eine Aufgabe.

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15:48 Uhr, 08.05.2014

Die Konvergenz ist relativ einfach zu beweisen. Wir können beim Hinweis anfangen. Also

\sum \frac{1}{k^{2}}

konvergiert. Wir haben aber nicht genau

\frac{1}{k^{2}}

, sondern nur etwas "Ähnliches". Wie können wir, "näher" zu unserer Reihe zu kommen? Wenn

\sum \frac{1}{k^{2}}

konvergiert, dann natürlich auch die Reihe

\sum \frac{1}{2 k^{2}} = \frac{1}{2} \sum \frac{1}{k^{2}}

. Wir können diese Reihe auch als

\sum \frac{2}{4 k^{2}}

schreiben, und sie ist natürlich immer noch konvergent. Das sieht schon fast wie in der Aufgabe. Aber eben nur fast. Jetzt vergleichen wir aber die Terme

\frac{2}{4 k^{2}}

und

\frac{2}{4 k^{2} - 1}

und stellen fest, dass

\frac{2}{4 k^{2}} < \frac{2}{4 k^{2} - 1}

, weil

4 k^{2} - 1 < 4 k^{2}

ist. Das ist natürlich blöd, denn wir brauchen eine Abschätzung in andere Richtung. Aber da

\frac{2}{4 k^{2}}

und

\frac{2}{4 k^{2} - 1}

doch offensichtlich nicht so weit voneinander liegen, können wir einfach versuchen, statt

\frac{2}{4 k^{2}}

, was zu klein für eine Majorante ist, einfach das Doppelte zu nehmen:

\frac{4}{4 k^{2}}

.
So, vergleichen jetzt die Terme

\frac{4}{4 k^{2}}

und

\frac{2}{4 k^{2} - 1}

. Jetzt haben tatsächlich

\frac{2}{4 k^{2} - 1} < \frac{4}{4 k^{2}}

, weil

2 \cdot 4 k^{2} < 4 \cdot (4 k^{2} - 1)

(wenn wir

2 \cdot 4 k^{2}

von beiden Seiten abziehen, bleibt nur

0 < 2 \cdot 4 k^{2} - 4

, was für alle

k \geq 1

erfüllt ist).
Also, wir haben

∣ \frac{2}{4 k^{2} - 1} ∣ = \frac{2}{4 k^{2} - 1} < \frac{4}{4 k^{2}} = \frac{1}{k^{2}}

. Also, ist unsere Reihe durch die konvergent Reihe

\sum \frac{1}{k^{2}}

majoriert, damit auch konvergent.

Das ist natürlich sehr ausführlich, normalerweise schreibt man das viel kürzer.

Für den 2. Teil findet man einfach

A

und

B

, sie sind einfach

A = 0.5

B = - 0.5

, und dann berechnet die endliche Summe

\sum_{k = 0}^{n} (\frac{2 A}{2 k - 1} + \frac{2 B}{2 k + 1})

. In dieser Summe eliminieren sich dann fast alle Summanden und so kann man den konkreten Wert der Reihe berechnen.

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16:04 Uhr, 08.05.2014

Ja so wie du es mir jetzt hier ausführlich erklärt hast macht das auch sinn für mich. Mein Problem ist es einfach wenn ich so eine Aufgabe lese, ich niemals auf diese Schritte kommen würde.

Ich wüsste gar nicht das ich von

\frac{1}{k^{2}}

ausgehen soll sondern würde eher von

\frac{2}{4 k^{2} - 1}

ausgehen und das irgendwie auf diese

\frac{A}{4 h^{2} - 1}

und

\frac{B}{4 h^{2} + 1}

umformen. Dann würde es bei mir schon wieder aufhören. Hast du villt zwei oder drei einfache Aufgaben für mich damit ich ein Gefühl dafür bekomme. Im Internet finde ich nur sehr schwere Aufgaben in dem immer ein kleiner hacken ist.

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16:29 Uhr, 08.05.2014

Du kannst z.B. so eine Aufgabe versuchen

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n^{3} - n^{2} - 2}

oder diese

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (n^{2} + 1)}{n^{2} - 4}

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16:40 Uhr, 08.05.2014

Okay also ich weis das

\frac{1}{n^{2} + n}

konvergent ist(aus meiner Formelsammlung entnommen)

Und das

\frac{n}{n^{3} - n^{2} - 2} < \frac{n}{n^{3} - n^{2}},

dann klammere ich sowohl oben als auch unten ein

n

aus kürze es und dann habe ich da stehen

\frac{1}{n^{2} + n}

also ist die ursprüngliche Reihe damit auch konvergent. Ist das soweit richtig so?

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16:46 Uhr, 08.05.2014

Das stimmt nicht:

\frac{n}{n^{3} - n^{2} - 2} < \frac{n}{n^{3} - n^{2}}

Wenn Du den Nenner vergrößerst, wird der Bruch kleiner.
Und versuche, keine Infos über

\frac{1}{n^{2} - n}

zu nutzen, sondern nur über

\frac{1}{n^{2}}

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17:09 Uhr, 08.05.2014

Ist es auch erlaubt das ich sage

\frac{n}{n^{3} - n^{2} - 2} < \frac{n}{n^{3} - n^{2} - n},

ich komm gerade nicht drauf was genau ich am Anfang machen muss, genau das ist mein Problem..

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17:11 Uhr, 08.05.2014

Okay bringt mich auch nicht weiter hab ich gemerkt! :-D)

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17:11 Uhr, 08.05.2014

Ja, wenn Du den Nenner kleiner machst, wird der Bruch größer, also was Du machst, ist erlaubt und auch sinnvoll, denn dann kannst Du durch

n

kürzen.

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17:12 Uhr, 08.05.2014

Ah okay dann komme ich auf

\frac{1}{n^{2} - n - 1}

jetzt muss ich irgendwie das

- 1

eleminieren

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17:22 Uhr, 08.05.2014

Was Du noch nicht benutzt hast - Du darfst auch mit festen Zahlen im Zähler und im Nenner multiplizieren, das habe ich doch ober vorgemacht. Ohne diesen Trick geht es oft nicht.

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17:33 Uhr, 08.05.2014

Ja stimmt!

da

\frac{1}{n^{2} - n - 1} < \frac{n}{n^{3} - n^{2} - 2}

ist verdoppel ich einfach den Zähler und habe dann

\frac{2}{n^{2} - n - 1} > \frac{n}{n^{3} - n^{2} - 2}

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17:46 Uhr, 08.05.2014

Ja stimmt!

da

\frac{1}{n^{2} - n - 1} < \frac{n}{n^{3} - n^{2} - 2}

ist verdoppel ich einfach den Zähler und habe dann

\frac{2}{n^{2} - n - 1} > \frac{n}{n^{3} - n^{2} - 2}

Aber jetzt hänge ich wieder!

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18:18 Uhr, 08.05.2014

Also auf ein neues! :-D)

\frac{n}{n^{3} - n^{2} - 2} < \frac{n}{n^{3} - n^{2} - n^{2}} = \frac{n \cdot 1}{n \cdot (n^{2} + n)} = \frac{1}{n^{2} + n} < \frac{1}{n^{2}} \to

Reihe ist konvergent, da

\frac{1}{n^{2}}

konvergent ist.

Sag mir bitte ,dass das richtig ist! Hab mir jetzt fast ne Stunde den Kopf zerbrochen! :-D):-D)

oder was mir gerade doch noch eingefallen ist:

\frac{n}{n^{2} + n} = \frac{n \cdot 1}{n \cdot n + n} = \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \to

divergent durch die harmonische Reihe?

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19:24 Uhr, 08.05.2014

Bei Dir stimmen leider einige Ungleichungen und auch Gleichungen nicht. Bei Gleichungen musst Du einfach mehr aufpassen. Dass z.B.

\frac{n}{n \cdot n + n} \neq \frac{1}{2 n}

, sollte doch klar sein. In Wirklichkeit

\frac{n}{n \cdot n + n} = \frac{1}{n + 1}

.
Bei Ungleichungen immer daran denken, dass die Verkleinerung vom Nenner den Bruch vergrößert und umgekehrt.

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07:37 Uhr, 09.05.2014

Okay also bis zum

\frac{1}{n^{2} - n - 1}

war es ja soweit richtig, ich könnte jetzt den Zähler vergrößern, dann hab ich das gleiche gemacht wie du in der Aufgabe davor das wären dann

\to \frac{2}{n^{2} - n - 1}

und hier komm ich einfach nicht weiter denn wenn ich jetzt die 1 durch

n

ersetzte komm ich im Nenner auf 0 und durch 0 darf man ja nicht teilen.

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09:55 Uhr, 09.05.2014

"und hier komm ich einfach nicht weiter denn wenn ich jetzt die 1 durch n ersetzte komm ich im Nenner auf 0 und durch 0 darf man ja nicht teilen"

Wenn Du

1

durch

n

n^{2} - n - 1

ersetzt, kommst Du auf

n^{2} - 2 n

.

Außerdem ist es geschickter, die "Zähler-Vergrößerung" mit "Nenner-Vergrößerung" zu kombinieren, so dass der Bruch dann insgesamt größer wird. Dazu gibt's kein Rezept, es ist eine Art kreative Arbeit, Du musst nach passenden Änderungen suchen.
Ich kann z.B. versuchen,

\frac{1}{n^{2} - n - 1}

durch

\frac{2}{n^{2}}

von oben abszuschätzen. Zuerst mal weiß ich nicht, ob es so geht, also prüfe ich nach:

\frac{1}{n^{2} - n - 1} < ? \frac{2}{n^{2}}

- Fragezeichen bedeutet, dass ich das noch prüfen muss. Also, zu prüfen ist

n^{2} < 2 (n^{2} - n - 1) < = > 0 < n^{2} - 2 n - 2

. Bei

n = 1

und

n = 2

passt es nicht. Aber das tut nicht weh, denn für Grenzwerte sind nur große Werte von

n

relevant, wir können immer die Betrachtung auf

n \geq n_{0}

für ein bestimmtes

n_{0}

einschränken. Und

n^{2} - 2 n - 2 > 0

für alle

n \geq 3

, weil

n^{2} - 2 n - 2 = (n - 1)^{2} - 3

. Damit können wir schreiben:

\frac{1}{n^{2} - n - 1} < \frac{2}{n^{2}}

für alle

n \geq 3

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12:18 Uhr, 09.05.2014

Achso okay das wusste ich zum Beispiel auch nicht das es nicht unbedingt für alle

n

größer sein soll. und da

\frac{2}{n^{2}}

genauso konvergiert wie

\frac{1}{n^{2}}

passt die sache auch wieder. Ich muss mich da jetzt nochmal ransetzten und üben üben üben...

kannst du mir bei der zweiten Aufgabe eine kleine Hilfestellung geben denn wenn cosinus sinus dabei ist weis ich auch nicht recht wie ich das machen soll.

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12:20 Uhr, 09.05.2014

Nutze, dass

∣ \cos (x) ∣ \leq 1

für alle

x

(genauso für Sinus).

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12:28 Uhr, 09.05.2014

Heißt ich kann

cos (x)

für alles

< 1

ersetzen?

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12:29 Uhr, 09.05.2014

Ja, nur

\leq

und Betrag (

∣

∣

) zu schreiben nicht vergessen.

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12:41 Uhr, 09.05.2014

Also ich würde das so machen:

\frac{cos (n^{2} + 1)}{n^{2} - 4} < \frac{n^{2} + 1}{n^{2} - 4}

dann

n^{2}

ausklammern

\to \frac{1 + (\frac{1}{n^{2}})}{1 - (\frac{1}{n^{2}})}

und die

\frac{1}{n^{2}}

gehen gegen 0 heißt im Endeffekt steht da:

\frac{1 + 0}{1 - 0} = 1

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12:54 Uhr, 09.05.2014

Nein,

∣ \cos (n^{2} + 1) ∣ \leq n^{2} + 1

ist zwar richtig, aber viel zu schwach.
Viel besser:

∣ \cos (n^{2} + 1) ∣ \leq 1

.

Und ich wiederhole: Betrag nicht vergessen! Denn sonst musst Du separat für positive und negative Werte zwei Abschätzungen führen, denn

\cos

nimmt auch negative Werte.

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13:09 Uhr, 09.05.2014

Also soll ich quasi für den ganzen Audruck:

| cos (n^{2} + 1) | \leq 1 \to | 1 |

einsetzen?

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13:13 Uhr, 09.05.2014

Nein, aber Du kannst

∣ \cos (n^{2} + 1) ∣

durch

1

abschätzen.

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13:52 Uhr, 09.05.2014

Inwiefern?

So das ich

cos (1)

rausbekomme in der Klammer?

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13:55 Uhr, 09.05.2014

Nein. Sorry, aber irgendwie schaffe ich es nicht, die Sachen für Dich klarer zu machen. Vielleicht brauchst Du Nachhilfe auf einem etwas tieferen Level.

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