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Majorisierte Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Janalp aktiv_icon

16:04 Uhr, 20.11.2017

Hallo,

ich habe eine Aufgabe und möchte die Lösung des Problems zusammen mit anderen erarbeiten.

Hier ist ein Foto der Aufgabe nur sodass es keinen Fehler unten gibt: imgur.com/a/fdvCi

Sei

(a_{k})_{k \in N}

eine Folge komplexer Zahlen, und sei die
Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

absolut konvergent. Sei ferner zu jedem

n \in ℕ

eine Folge

(a_{k, n})_{k \in ℕ} \subset ℂ

gegeben mit

∣ a_{k, n} ∣ \leq ∣ a_{k} ∣

(**)

(n \in ℕ)

und

lim_{n \to \infty} a_{k, n} = a_{k}

. Zeigen Sie, dass

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k, n}

für jedes

n \in ℕ

konvergiert und

lim_{n \to \infty} a_{k, n} = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

.

_______
Ich kann auch benutzten:

Sei

(a_{k})_{k \in N}

eine Folge komplexer Zahlen. Die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

ist konvergent

\overset{}{\Leftrightarrow}

Für jedes

K \in ℕ

konvergiert die Reihe

\sum_{k = K}^{\infty} a_{k}

, und es gilt

lim_{K \to \infty} \sum_{k = K}^{\infty} a_{k} = 0

.
_______

Idee:

Sei o.B.dA, dass die Folge

(a_{k})_{k \in N}

monoton fallend ist. Das bedeutet:

a_{m} \geq a_{n}

für alle

m, n \in ℕ

wenn

m \leq n

. Da

(a_{k})_{k \in N}

absolut konvergent ist und für alle

k, n \in ℕ

∣ a_{k, n} ∣ \leq ∣ a_{k} ∣

, dann ist

\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ a_{k, n} ∣ \leq \sum_{k = 1}^{\infty} ∣ a_{k} ∣

. Da die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ a_{k, n} ∣

beschränkt und monoton fallend ist von (**), konvergiert die Reihe (konvergiert absolut).

Wir wissen:

lim_{n \to \infty} a_{k, n} = a_{k}

. Die Summe auf beide Seiten:

\sum_{k = 1}^{\infty} lim_{n \to \infty} a_{k, n} = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

\overset{}{\Leftrightarrow}

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k, n} = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:06 Uhr, 20.11.2017

Hallo,

in Deinem letzten Schritt vertauschst Du die Grenzwertbildung mit der unendlichen Summe, das ist allgemein nicht erlaubt! Der Pfiff der Aufgabe ist es gerade zu zeigen, dass das unter den hier angegebenen Voraussetzungen doch erlaubt ist.

Zunächst ist ja

| a_{k, n} | \leq | a_{k} |

und die Reihe über

(a_{k})

absolut konvergent, also konvergiert nach dem Majoranten kriterium für jedes

n \in ℕ

die Reihe

A_{n} := \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k, n}

Es gilt dann für jedes Paar

p < q

| \sum_{k = 1}^{q} a_{k, n} - \sum_{k = 1}^{q} a_{k} | \leq | \sum_{k = 1}^{p} a_{k, n} - a_{k} | + \sum_{k = p + 1}^{\infty} | a_{k, n} | + \sum_{k = p + 1}^{\infty} | a_{k} |

Jetzt kann man zu gegebenem

ε p

so groß wählen, dass die beiden hinteren Summen kleiner als

ε

werden, und dann

n

so groß, dass auch die erste Summe kleiner als

ε

ist

...

.

Gruß pwm

Janalp aktiv_icon

21:55 Uhr, 20.11.2017

Hallo pwmeyer,

ich kann nicht nachvollziehen, wie Du auf dieser Ungleichung gekommen bist. Kannst Du das bitte erklären?

Janalp aktiv_icon

22:13 Uhr, 21.11.2017

Kann man eigentlich den zweiten Teil per Induktion beweisen? Also für endliche Summen, zeigen, dass es für all N gilt?

ledum aktiv_icon

13:06 Uhr, 22.11.2017

Hallo
1. das ist die Dreiecksungleichung
2. was willst du denn für endliche

N

zeigen? es geht doch gerade um

n \to \infty

und ich sehe nicht was du mit endlichen

n

und was immer du beweisen willst erreichen willst.
denk an die Überschrift, majorisierte Konvergenz!
Gruß ledum

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