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Man finde alle Lösungen des Gleichungssystms
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Gleichungssystem, Lösung
 
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Hallo! Ich brauche dringend Hilfe. Ich suche alle reellen Lösungen des Gleichungssystems: Mein erster Ansatz wäre über den Gauß-Algorithmus gewesen. Komme da aber nicht weiter. Bin ich dort ganz auf dem falschen weg? Lg Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, was ist denn alles erlaubt? Bedenke: Beide Gleichungen können höchstens je 6 verschiedene Lösungen besitzen. Du müsstest nur alle maximal 12 Lösungen berechnen und schauen, ob eine (oder mehrere) BEIDE Gleichungen löst. Sollte nicht sooo schwierig sein, zumal nach einem plot beider Funktionen es nach deutlich weniger als je 6 Lösungen aussieht. Mfg Michael |
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. "Hallo! Ich brauche dringend Hilfe. " . SUPER deshalb bist du sofort dringend von der Bildfläche verschwunden?.. und scherst dich gar nicht um den Tipp von Michael, der dir nahelegt, wie du vielleicht die möglicherweise einzige Lösung aufspüren könntest . |
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Was nicht alles dringend ist . Hast du die Angabe hier richtig wiedergegeben? Ist es deine Interpretation, dass du Lösungen dieses Systems finden musst? Ist vielleicht etwas anderes gesucht? Woher stammt denn das Ding eigentlich - wie kommst du zu dieser Aufgabe? Es gibt hier keine gemeinsame Lösung (wenn auch je eine Lösung der einen und der anderen Gleichung knapp beisammen liegen. Die erste Gleichung ist "schön" exakt lösbar, aber die zweite wohl nur numerisch. Das stimmt nachdenklich. |
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sry für die späte rückmeldung!! Prinzipiell darf man die Aufgabe lösen wie man möchte. Ich habe jetzt fie Gleichungen geplottet, wie berechne ich jetzt allerdings die Lösungen? Die Aufgabenstellung stimmt so, allerdings ist nicht gesagt dass es zwingend eine Lösung geben muss. Danke für eure Hilfe!! |
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Faktorisiere Nur die erste Klammer liefert reelle Nullstellen, nämlich und Überprüfe, ob diese Werte auch die zweite Gleichung erfüllen. |
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das werd ich gleich mal ausprobieren... |
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Ich habe die Lösungen jetzt probiert. Allerdings kommt nie Null heraus...kann mir jemand sagen wie ich die Aufgabe lösen kann? eventuell numerisch...?? |
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Ich habe die Lösungen jetzt probiert. Allerdings kommt nie Null heraus...kann mir jemand sagen wie ich die Aufgabe lösen kann? Das hast du damit bereits! Respon hat dir die reellen Lösungen der ersten Gleichung verraten. Du hast sie offenbar in die zweite Gleichung eingesetzt und festgestellt, dass keine davon Lösung der zweiten Gleichung ist. Fazit: Die beiden Gleichungen haben keine gemeinsame reelle (und nebenbei gesagt auch keine nichtreelle) Lösung. |
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heisst das es gibt auch keine Lösung in den komplexen Zahlen? welche Art gibt es noch zu zeigen dass es keine gemeinsame Lösung gibt außer über das Faktorisieren? |
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heisst das es gibt auch keine Lösung in den komplexen Zahlen? So ist es! Ich hab dir ja schon vorgestern geschrieben "Es gibt hier keine gemeinsame Lösung (wenn auch je eine Lösung der einen und der anderen Gleichung knapp beisammen liegen)." welche Art gibt es noch zu zeigen dass es keine gemeinsame Lösung gibt außer über das Faktorisieren? Was gefällt dir an der Methode nicht? Außer der Tatsache, dass man "zu Fuß" wohl recht schwer drauf kommt, dass man so faktorisieren kann. Vielleicht möchtest du uns verraten, wie du zu dieser Aufgabe kommst, in welchem Kontext sie zu sehen ist, wie gegebenenfalls die genaue Aufgabenstellung lautet, . |
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Ich besuche zur Zeit ein Mathe-Seminar und dort erhalten wir alte Aufgaben aus Zeitschriften. Wir sollen diese unter allen möglichen Gesichtspunkten behandeln. Also wenn es beispielsweise 3 Lösungswege gibt, sollen wir alle 3 Lösungswege finden. Mein erster Ansatz wäre über den Gauß-Algorithmus gewesen, weiß aber nicht ob ich damit weiter komme... und wenn es eine komplexe Lösung gäbe könnte ich auch diese berechnen...soviel zu Hintergrund ;-) |
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und die genaue Aufgabenstellung lautet wie ich sie ganz oben formuliert habe...;-) |
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Aus welcher Zeitschrift könnte denn diese Aufgabe stammen?? Gauß kann doch nicht funktionieren - es handelt sich schließlich nicht um lineare Gleichungen! Du hast zwei Gleichungen nur in einer Variablen gegeben, wenn die Angabe wirklich so lautet und nicht vielleicht die Hochzahlen eigentlich Indizes sein sollten und damit zwei lineare Gleichungen in 6 Variablen vorliegen (da könntest du dann wieder an Gauß denken). Was soll es da also schon groß für Möglichkeiten geben? Entweder beide Gleichungen lösen und beim Vergleich der Lösungen feststellen, dass es keine gemeinsamen gibt. Auch wenn die Lösung der ersten Gleichung und die Lösung . der zweiten Gleichung sehr knapp beieinander liegen. Plotten und feststellen, dass schon rein optisch keine gemeinsamen Lösungen auszumachen sind (fällt hier wegen der beiden eng beieinander liegenden Lösungen weg Oder eine der beiden lösen und durch einsetzen feststellen, dass deren Lösungen die zweite Gleichung nicht erfüllen. Das hast du (zumindest für die beiden reellen Lösungen) gemacht. Du kannst das ja auch noch für die zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen machen. Am Besten, indem du versuchst, den zweiten Term zB durch oder durch zu teilen und feststellst, dass das in beiden Fällen nicht ohne Rest möglich ist. Wenn ein Lösung beider Gleichungen ist, so muss es auch Lösung jeder Linearkombination aus den beiden Gleichungen sein. Wenn du etwa beiden Gleichungen subtrahierst, erhältst du eine Gleichung 5. Grades, die nur eine reelle Lösung hat Wenn du eine geschickte Linearkombinaton finden könntest, die exakt lösbar ist (etwa eine, bei der nur und vorkommen), könntest du ganz ohne Rechnerunterstützung die Aufgabe lösen. Ich seh da aber auf die Schnelle nichts. Ich hab zwar schon einmal nachgefragt, aber trotzdem: Bist du dir eigentlich GANZ sicher, dass es in der zweiten Gleichung nicht anstelle von heißen sollte? Dann würde es nämlich sogar zwei gemeinsame Lösungen geben und auch die zweite Gleichung würde sich exakt lösen lassen. |
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Danke für deine Ausführliche Antwort...;-) Habe dir von der genauen Aufgabenstellung ein Foto geschickt.  |
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Ich wollte noch fragen wie du die Lösung der zweiten Gleichung berechnet hast? |
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Ich wollte noch fragen wie du die Lösung der zweiten Gleichung berechnet hast? Per Knopfdruck ;-) Siehe Anhang. Also mit Näherungsverfahren Wie du siehst, hätten die beiden Gleichungen mit dem geänderten Vorzeichen bei sogar vier Lösungen gemein, zwei davon reell. Die Angabe sieht allerdings so alt aus, sodass wohl keine Computer-Unterstützung gegeben war.  |
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Danke einmal! ;-) wie würde ich die komplexen Lösungen dann berechnen? wenn ich es händisch machen müsste? |
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Wie würdest du die reellen Lösungen berechnen, wenn du es händisch machen müsstest? Ich glaube allerdings nicht, dass bei der Aufgabe beabsichtigt war, von der zweiten Gleichung die Nullstellen näherungsweise zu bestimmen. Wenn man die Faktorzerlegung der ersten Gleichung mal hat, dann kann man ja auch die nicht-reellen Lösungen ablesen und in die zweite Gleichung einsetzen. |
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händisch würde ich es jetzt über die Faktorzerlegung machen...ansonsten halt die Gleichungen subtrahieren aber dann habe ich halt immer noch . wie könnte ich diese denn Näherungsweise berechnen? Newton-Verfahren? Kann ich nicht die reellen Lösungen in die zweite einsetzen? (ich weiß dass es keine Lösung gibt, aber trotzdem) |
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Aja und was ich noch fragen wollte: Mit welcher Mathe-Software arbeitest du? ist diese gratis? |
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händisch würde ich es jetzt über die Faktorzerlegung machen... Und wie kommst du zu der (wenn sie Respon nicht verrät?) wie könnte ich diese denn Näherungsweise berechnen? Newton-Verfahren? Ja - das Verfahren funktioniert auch im Komplexen. Erst plotten - da sieht man dann, dass sich bestenfalls bei eine gemeinsame Lösung befinden kann und dann dort näherungsweise herumstochern. Irgendwie hab ich immer noch das Gefühl, dass da möglicherweise ein Angabefehler vorliegt. Aber selbst dann wirds ohne Rechnerunterstützung schwierig. Kann ich nicht die reellen Lösungen in die zweite einsetzen? (ich weiß dass es keine Lösung gibt, aber trotzdem) Ja, wenn du sie gefunden hast, ohne CAS oder Respons Hilfe? Das war es doch genau, was erstmals Respon Uhr, vorgeschlagen hatte. Da die beiden reellen Lösungen der ersten Gleichung die zweite Gleichung nicht erfüllen, folgt daraus, dass es eben keine gemeinsamen Lösungen gibt. Die Frage istz nur, wie du die erste "Gleichung zu Fuß" so schön faktorisierst, um die Lösungen zu ermitteln. Aja und was ich noch fragen wollte: Mit welcher Mathe-Software arbeitest du? ist diese gratis? Mathcad und nein, ist nicht gratis. Es gibt einen kostenlosen Klon (SMath Studio), allerdings fehlen dem vor allem auch die symbolischen Fähigkeiten, weswegen er für diese Aufgabe vermutlich nicht geeignet ist. Schau dir vl einmal das kostenlose Maxima an. Und sogar das CAS Modul im kostenlose Geogebra schafft es, die reellen Lösungen der ersten Gleichung exakt zu bestimmen und diese auch zu faktorisieren (siehe Anhang).  |
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das ist ja gerade meine Frage wie ich zu der Faktorzerlegung komme...könntest du mir da weiterhelfen? Danke...ja habs mit Maxima schon probiert...spuckt mir bei der ersten Gleichung die Lösungen aus...allerdings funktioniert das bei der zweiten Gleichung gar nicht...also Maxima gibt mir dort keine Lösungen aus... |
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Danke fürs Bild...habs auch gerade mit Geogebra geschafft. ;-) |
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das ist ja gerade meine Frage wie ich zu der Faktorzerlegung komme...könntest du mir da weiterhelfen? Du meinst ohne CAS Unterstützung? Für Gleichungen sechsten Grades gibts ja keine allgemeine Lösungsformel. Ich weiß nicht, nach welchen Algorithmus die Programme bei der Lösung vorgehen. Müsste ich es händisch machen, würde ich mal ansetzen Rechts ausmultipliziert gibt dann ein Koeffizientenvergleich sechs (leider nichtlineare) Gleichungen für die sechs Unbekannten. Wenn man Glück hat, kann man dieses Gleichungssystem irgendwie lösen. Wenn man noch mehr Glück hat, sind die Lösungen (wie eben bei der ersten Glg) ganzzahlig. also Maxima gibt mir dort keine Lösungen aus... Hab nicht allzu viel mit Maxima gearbeitet, aber ich denke, dass es auch dort einen Numerik-Modus geben wird, sodass dir das Programm dann eben die numerischen Näherungen der Lösungswerte liefert. Offenbar musst du diesen Modus (wie bei Mathematica zB ja auch) explizit einfordern. |
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Genau ohne Cas Unterstützung... das werde ich jetzt einmal versuchen... würde es mit substitution auch funktionieren? Dann versuche ich es nochmals im Maxima... |
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würde es mit substitution auch funktionieren? Wenn du eine geschickte findest - warum nicht. Hast du eine bestimmte in Aussicht? |
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wollte es mit versuchen...allerdings komme ich da auf nicht bahnbrechendes... |
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Tja, so einfach scheint es nicht zu sein. Trotzdem wirds wohl Techniken für die (ganzzahlige) Faktorisierung geben, die man da in den diversen Programmen implementiert hat. Falls du dich grundsätzlich für das Lösen von Gleichungen höheren Grades mit trickreichen Substitutionen interessierst, könnte http//www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9783662503409-c3.pdf?SGWID=0-0-45-1574684-p180085642 für dich von Interesse sein. Viel Spaß ;-) |
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