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Mannigfaltigkeit

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Bernd97 aktiv_icon

18:14 Uhr, 01.07.2017

Wie zeige ich die unten stehenden Aussagen am besten? LG

Ist

A : ℝ^{n + m} \to ℝ^{m}

linear und surjektiv, so ist

A^{- 1} (0) =

kern(A) eine Mannigfaltigkeit der Dimension

n

und Kondension

m

.

Für

0 \leq s \leq n

ist

ℝ^{s} ≅ ℝ^{s} \times {0} \subset ℝ^{n}

eine Mannigfaltigkeit der Dimension

s

und Kondension

n - s

.

Definition Mannigfaltigkeit:
Eine nichtleere Teilmenge

M

des

ℝ^{n + m}

mit

n \geq 0, m \geq 1

heißt Mannigfaltigkeit der Kondension

m,

wenn es eine offene Umgebung

U

von

M \in R^{n + m}

und eine

C^{1}

-Abbildung

f : U \to ℝ^{m}

ohne singuläre Punkte gibt, so dass

M = f^{- 1} (0) = {x \in U | f (x) = 0}

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

PhantomV aktiv_icon

21:03 Uhr, 01.07.2017

Hi,

die Aussagen zeigst du am besten mit der Definition einer Mannigfaltigkeit, bzw. das
was du als Definition da hast. Im ersten Beispiel wähle doch als Abbildung

f

die Abbildung

A

und prüfe ob diese alle Eigenschaften erfüllt, wie zB

C^{1}

und keine singulären Punkte etc.
PS: Es heißt außerdem Kodimension nicht Kondension.

Gruß PhantomV

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