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Mantelfläche von Rot-Körpern: delta x vs. delta k

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Tags: Integration, Mantelfläche, Rotationskörper

Binary91 aktiv_icon

09:02 Uhr, 18.12.2020

Guten Morgen,

ich habe eine Verständnisfrage zur Berechnung der Mantelfläche von Rotationskörpern mithilfe der Integration.

Die Herleitung der Formel zur Berechnung der Volumina von Rotationskörpern ist mir verständlich und einleuchtend, da sich die Formel:

V = Π \cdot r^{2} \cdot h

gut mit der Integration beschreiben lässt:
Radius

r = f (x)

h = Δ x

Es werden folglich "unendlich dünne" zylindrische Scheiben aufaddiert, genau wie im zweidimensionalen Bereich bei der Berechnung des Flächeninhaltes unter der Kurve.

Bei der Berechnung der Mantelfläche hingegen wird die Formel zur Berechnung der Mantelfläche von Kegelstümpfen unter Verwendung der Mantellinie

m

(bzw.

Δ k)

angewandt:

V = Π \cdot

(Rg+Rd)

\cdot Δ k

Es leuchtet mir ein, wie man durch Pythagoras nun auf die komplexe Integrations-Formel gelangt, jedoch möchte mir einfach nicht klar werden, wieso ich

Δ k

nicht mit

Δ x

für unendlich kleine

Δ x

gleichsetzen kann. Mein Professor hat dies sogar betont, dass das Gleichsetzen zu einem "systematischen Fehler" führen würde. Allerdings verstehe ich es nicht. Zumal in den Anleitungen noch steht, dass sich die unendlich kleinen Kegelstümpfe durch Angleichen des Grund- und Deckradius genau wie Zylinder verhalten, weshalb auch die Formel über

2 \cdot Π \cdot r

definiert werden kann. Somit muss doch eigentlich die Mantellinie bzw.

Δ k

auch

Δ x

entsprechen, oder?

Kann mir jemand veranschaulichen, wo mein Denkfehler liegt? Ich möchte nur ungern die Formel als gegeben hinnehmen und mich damit abfinden, so etwas mag ich gar nicht :-)

Danke schon einmal vorab für eure Hilfe.

Beste Grüße
Binary91

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

DrBoogie aktiv_icon

09:13 Uhr, 18.12.2020

Unendlich klein ist doch nicht gleich unendlich klein.
Sonst wäre ja auch

2 Δ x

dasselbe wie

Δ x

. Das ist aber offensichtlich falsch.
Und genauso kann man

Δ k

nicht mit

Δ x

gleichsetzen.
Es gilt vielmehr

Δ k = \frac{1}{\cos (φ)} Δ x

, wo

φ

der entsprechende Winkel ist. Wenn du also mit

Δ x

rechnen würdest, würdest du ein um

\frac{1}{\cos (φ)}

kleineres Ergebnis bekommen.

Binary91 aktiv_icon

09:24 Uhr, 18.12.2020

Hallo DrBoogie,

vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.

Das leuchtet mir ein, allerdings verstehe ich dann nicht, weshalb man einerseits davon ausgehen darf, dass der "unendlich kleine" Kegelstumpf ein Zylinder ist und daher der Radius von Grund- und Deckplatte identisch sind und andererseits aber

Δ x

und

Δ k

nicht identisch sind. Sollte das eine nicht das andere bedingen bei einem Zylinder? Der Zylinder kann doch keine unterschiedlichen Höhen haben, sonst wäre es doch ein Kegelstumpf?

DrBoogie aktiv_icon

09:42 Uhr, 18.12.2020

"weshalb man einerseits davon ausgehen darf, dass der "unendlich kleine" Kegelstumpf ein Zylinder ist und daher der Radius von Grund- und Deckplatte identisch sind"

Sie sind nicht identisch, das ist offensichtlich. Aber sie unterscheiden sich nur um eine unendlich kleine Größe in diesem Fall. Also

r

für die Deckplatte und

r + Δ r

für die Grundplatte. Jetzt kommt es darauf an, welche Berechnung du weiter machen willst. Bei manchen Berechnungen beeinflusst dieses

Δ r

das Ergebnis nicht. Z.B. bei der Volumenberechnung summiert man die Volumen von diesen "unendlich kleinen" Kegelstümpfen. Das Volumen von jedem einzelnen ist natürlich zwischen

h π r^{2}

und

h π (r + Δ r)^{2}

, wo

h

die Höhe ist. Und diese zwei Größen unterscheiden sich nicht wesentlich, das sieht man z.B. indem man die eine durch die andere teilt:

\frac{h π (r + Δ r)^{2}}{h π r^{2}} = 1 + 2 \frac{Δ r}{r} + \frac{Δ r^{2}}{r^{2}}

. Das ist praktisch

1

, weil der Rest unendlich klein ist. Beachte, dass die Situation sich entscheidend von der Situation mit

Δ k

und

Δ x

unterscheidet, denn dort hatten wir

\frac{Δ k}{Δ x} = 1 / \cos (a) \neq 1

. Dieses Verhältnis ist mitnichten "ungefähr eins", es ist vielmehr immer weit von

1

entfernt.

Aber ich persönlich mag die "Berechnungen" mit unendlich kleinen Größen nicht, es ist schwer, sie sauber zu machen, die Fehleranfälligkeit ist groß. Besser ist, einfach echte kleine Größen zu betrachten, Abschätzungen zu machen und dann Grenzwerte berechnen.

Binary91 aktiv_icon

10:39 Uhr, 18.12.2020

Ich glaube, der Groschen ist gefallen.

Ich gehe richtig der Annahme, dass der Winkel (im letzten Post hast Du ihn

α

genannt), von dem Du in Deinen beiden Posts sprichst, der Winkel zwischen den beiden "Linien" Radius (also

f (x))

und Mantellinie (also

Δ k)

ist? Die Gegenkathete ist somit

Δ x

und die Ankathete ist

Δ r

?

Falls ja, dann müsste sich dieser Winkel für

Δ x \to 0

ja immer mehr an 90° annähern, korrekt? Und somit ginge

cos (α)

gegen Null und der Term

\frac{1}{cos (α)}

ergo gegen Unendlich, was sich immer weiter von 1 entfernt. Korrekt?

Falls meine Annahme zutrifft, dann habe ich zumindest verstanden, weshalb ich nicht gleichsetzen darf. Visualisieren kann ich mir diese Tatsache aber immer noch nicht. Ich stelle mir das Dreieck vor, dessen Gegenkathete und dessen Ankathete sich gegen Null nähern und frage mich, weshalb ich die eine Bedingung als tolerierbaren Fehler gleichsetzen kann (Gegenkathete = Ankathete, da

Δ r

gegen Null), die andere aber nicht (Gegenkathete = Hypothenuse). Es möchte mir nicht in den Verstand gehen.

DrBoogie aktiv_icon

10:49 Uhr, 18.12.2020

Nein, der Winkel bleibt konstant. Er kann sich doch gar nicht ändern.
Das ist der Winkel auf dem Bild. Es ist egal, wie klein dabei

Δ x

und

Δ k

sind, sie bleiben doch auf den Strecken

s

und

r

liegen, daher bleibt auch der Winkel derselbe.

DrBoogie aktiv_icon

10:51 Uhr, 18.12.2020

"weshalb ich die eine Bedingung als tolerierbaren Fehler gleichsetzen kann (Gegenkathete = Ankathete, da Δr gegen Null)"

Nein, das kannst du nicht. Wo siehst du so was?
Vielleicht sollst du ein Bild malen.

Binary91 aktiv_icon

11:04 Uhr, 18.12.2020

Ach, Du sprichst vom "gegenüberliegenden" Winkel.
In der Grafik, die ich angehängt habe (Ursprung: image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/scee86bccd27a6ab2/image/i7825afa8a1a32b12/version/1549296019/zerlegung-des-rotationsk%C3%B6rpers-in-kegelst%C3%BCmpfe-zur-bestimmung-der-mantelfl%C3%A4che.png

bliebe der von Dir beschriebene Winkel (zwischen

Δ x

und mi bzw.

Δ k)

doch lediglich konstant, wenn sich das Verhältnis von

Δ x

Δ r

nicht änderte. Aber dann gingen wir ja von einem linearen Funktionsgraphen aus, oder?

In der Grafik, die ich angehängt habe, wenn ich dort

Δ x

gegen Null laufen lasse und

Δ r

ebenfalls immer kleiner wird (die beiden Radii nähern sich ja an, daher die Annahme eines Zylinders), dann muss doch der von Dir beschriebene Winkel (ergo der Winkel zwischen

Δ x

und mi bzw.

Δ k)

gegen Null gehen und der Winkel zwischen

Δ r

und mi sowie der Winkel zwischen

Δ r

und

Δ x

gegen 90°, oder?
Aber dann gelte

\frac{1}{cos (α)} = 1

und somit wären

Δ k

und

Δ x

identisch... Ich verstehe es nicht.

DrBoogie aktiv_icon

11:08 Uhr, 18.12.2020

Ich verstehe nicht, wie das jetzt ein Kegelstumpf sein soll.
Und was hier überhaupt gemacht wird und wozu. Was sind

R_{i}

r_{i}

y_{i}

usw.?

Binary91 aktiv_icon

12:26 Uhr, 18.12.2020

Also,
die gelbe Linie

(f)

ist der Funktionsgraph.
Ri ist der Radius der Grundplatte, also

f (x i) (i

ist einfach der Index)
ri ist der Radius der Deckplatte, also der

f (x i + 1)

Zwischen Ri und ri liegt

Δ x

.
mi ist die Mantellinie, ergo

Δ k

Δ y

ist

Δ r

.

Somit ergibt sich ein i-ter Kegelstumpf.

Sprechen wir nun von dem Winkel

α

zwischen

Δ x

und

Δ k

. Meine Überlegung nach gefühlt stundenlangen Betrachtens der Zeichnung bei der Annahme, dass sich

Δ x

und

Δ r (Δ y)

im "unendlich Kleinen" angleichen ist jene, dass dann eigentlich beide nicht-rechten Winkel exakt 45° ergeben müssten, oder?
Somit gelte:

\frac{Δ k}{Δ x} = \frac{1}{cos (45)} \approx 1,41

.

Somit hätte man einen systematischen Fehler von

0,41

und daher kann man nicht einfach gleichsetzen. Ist das richtig?

Sinn macht das für mich aber noch immer nicht, da unter der Annahme, dass sich Ri und ri angleichen, ergo

Δ r

gegen Null geht, müsste sich die Mantellinie ja einer Horizontalen annähern müsste. In diesem Fall hätte man nur noch eine Linie, kein Dreieck mehr. Aber wenn man einen unendlich kleinen Wert außer Null annimmt, dann wird ja sicher kein Sprung von

45

auf 0° erfolgen, oder? Es muss sich ergo der Winkel an die 0° annähern oder sehe ich das falsch?

Ich denke es würde mir helfen zu wissen, wie sich die beiden nicht-rechten Winkel tatsächlich verhalten, wenn

Δ x

gegen Null geht. Vielleicht verstehe ich es dann.

DrBoogie aktiv_icon

12:47 Uhr, 18.12.2020

Nach meinem Verständnis ist es kein Kegel, sondern ein allgemeiner Rotationskörper. Ein Kegel ist laut Wikipedia "ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten und zusammenhängenden Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt (Spitze bzw. Apex) außerhalb der Ebene verbindet." Geradlinig bedeutet, dass die Funktion

f

im Bild nur eine Gerade sein darf.

Aber gut, dann ist es ein Rotationskörper. Dann ist die blaue Hypothenuse des kleinen Dreiecks im Bild eine Sekante. Und Sekanten konvergieren bekanntlich gegen Tangenten. Der Punkt im Bild ist sehr unglücklich gewählt, denn dort hat

f

Maximum, also ist die Tangente waagerecht, was aber allgemein natürlich nicht so ist. Allgemein hat die Tangente einen Winkel

φ

zu der

x

-Achse, der in fast allen Punkten nicht

0

ist. Deshalb ist im kleinen Dreieck

Δ x_{i} / m_{i} \sim \cos (φ)

oder

m_{i} \sim Δ x_{i} / \cos (φ)

.
Da aber

φ

für einen allgemeinen Rotationskörper vom Punkt abhängt, ist die Berechnung deutlich komplizierter als bei einem Kegel. Wir haben nämlich

\tan (φ) = \pm f^{ʹ} (x)

und dementsprechend

\cos^{2} (φ) = \frac{1}{1 + (f^{ʹ} (x))^{2}}

, also

m_{i} \sim (1 + f^{ʹ} (x)^{2}) Δ x_{i}

.
Deshalb taucht diese

(1 + f^{ʹ} (x)^{2})

auch in der Formel für die Mantelfläche eines Rotationskörpers:

M = M = 2 π \int_{a}^{b} f (x) \sqrt{1 + {[f^{ʹ} (x)]}^{2}} d x

DrBoogie aktiv_icon

12:49 Uhr, 18.12.2020

"Sinn macht das für mich aber noch immer nicht, da unter der Annahme, dass sich Ri und ri angleichen, ergo Δr gegen Null geht, müsste sich die Mantellinie ja einer Horizontalen annähern müsste"

Nur in einem einzigen Punkt auf dem ganzen Graphen!
Das Bild ist sehr schlecht, weil ziemlich irreführend.

Binary91 aktiv_icon

13:38 Uhr, 18.12.2020

Ahaaa, jetzt kommen wir der Sache näher. Völlig logisch, hier wird ja zufällig ein Maximum angenähert!

Mir muss jetzt nur noch einleuchten, dass

Δ k

nicht mit

Δ x

gleichzusetzen ist.

Vorhin habe ich die These aufgestellt, dass im unendlich Kleinen

(Δ x = Δ r)

gelten muss, dass der Winkel

φ

45° beträgt.

Somit bestünde bei Annahme, dass

\frac{Δ x}{Δ k} = 1

gelte, ein Fehler von

1 - cos (45) \approx 0,3

.

Wenn ich

Δ k

mittels Pythagoras definiere, dann gilt:

Δ k = \sqrt{{(Δ x)}^{2} + {(Δ r)}^{2}}

Da gilt:

Δ x = Δ r,

kann man schreiben:

Δ k = \sqrt{2 {(Δ x)}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} Δ x

Das ergibt "zufälligerweise" exakt denselben Fehler von

1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,3

.

Liege ich richtig, dass dieser Fehler der Grund dafür ist, dass man nicht Gleichsetzen darf und daher der Weg über Pythagoras notwendig ist, wie Du ihn beschrieben hast?

DrBoogie aktiv_icon

14:42 Uhr, 18.12.2020

"Vorhin habe ich die These aufgestellt, dass im unendlich Kleinen (Δx=Δr) gelten muss"

Warum muss es gelten?
Also, wenn man jetzt tatsächlich ein Kegel hat und der Winkel ist z.B.

60

Grad, dann wird es nicht gelten. Und bei einem Rotationskörper ist wie gesagt in jedem Punkt ein eigener Winkel, daher ist dort auch

45

Grad nur an manchen Stellen zu erwarten wenn überhaupt. Und definitiv nicht überall.

Binary91 aktiv_icon

22:34 Uhr, 18.12.2020

Aber hattest Du nicht gesagt, dass im unendlich Kleinen annehmbar ist, dass

Δ x

und

Δ r

sich gleichen? Ansonsten würde doch die Formel nicht mit

2 Π r

zu berechnen sein, sondern man müsste tatsächlich zwischen den beiden Radii differenzieren..
Wenn also der Winkel so stark variieren kann, wie kann dann von gleichen Radii ausgegangen werden? Vielleicht sollte ich es einfach hinnehmen wie es ist, ohne es zu verstehen. Bedauerlich..

DrBoogie aktiv_icon

23:40 Uhr, 18.12.2020

"Aber hattest Du nicht gesagt, dass im unendlich Kleinen annehmbar ist, dass Δx und Δr sich gleichen?"

Nein, das habe ich nicht gesagt.

"Ansonsten würde doch die Formel nicht mit 2Πr zu berechnen sein, sondern man müsste tatsächlich zwischen den beiden Radii differenzieren."

Welche Formel mit

2 π r

meinst du? Für dein Bild, was du gepostet hast, gibt's keine Formel mit

2 π r

!!! Es gibt nur die Formel die mit der Ableitung, die ich gezeigt habe.
Die Formel mit

2 π r

gibt's nur für ein "richtiges" Kegel, und dort ist die Lage einfach, denn dort ist

\frac{Δ r}{Δ x}

einfach immer gleich ist, und zwar

1 / \cos (φ)

. Aber dazu brauchst ein anderes Bild.

"Wenn also der Winkel so stark variieren kann, wie kann dann von gleichen Radii ausgegangen werden? Vielleicht sollte ich es einfach hinnehmen wie es ist, ohne es zu verstehen. Bedauerlich.."

Das ist auf jeden Fall möglich zu verstehen. Wobei, wie gesagt, ich die Argumentation mit "unendlich kleinen" schwierig finde. Aber man kann relativ leicht eine Riemann-Summe aufschreiben, abschätzen und den Grenzwert berechnen.

Aber vielleicht liest du einfach noch einmal, was ich geschrieben habe. Denn du schreibst immer wieder an mir vorbei, ich verstehe es nicht. Zum Beispiel scheint es mir, dass du immer noch nicht verstanden hast, dass auf deinem Bild kein "richtiges" Kegel zu sehen ist, sondern ein allgemeiner Rotationskörper. Oder dass aus deinem Bild keine Formel mit

2 π r

rauskommen kann.

DrBoogie aktiv_icon

08:42 Uhr, 19.12.2020

Die saubere Herleitung der Formel:
math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Map%3A_University_Calculus_(Hass_et_al)/6%3A_Applications_of_Definite_Integrals/6.4%3A_Areas_of_Surfaces_of_Revolution

Binary91 aktiv_icon

11:37 Uhr, 20.12.2020

Etwas verspätete Rückmeldung meinerseits.

Vielen Dank für diesen Link, ich konnte es bisher lediglich überfliegen aber ich werde mir das noch genau ansehen morgen, ich melde mich abschliessend noch einmal.

Btw.: Das mit

2 Π r

ist die Integralformel, die uns der Prof. vorgelegt hat, daher habe ich es..

Binary91 aktiv_icon

16:37 Uhr, 21.12.2020

So, ich melde mich wieder zu Wort.

Vielen Dank noch einmal für den Link, das ist wirklich eine sehr schöne Herleitung der Formel.

Wie zu sehen ist, werden auch hier beide Radii zu einem gemeinsamen Radius zusammengefasst und die Formel beinhaltet dann

2 Π

. Begründet wird das mit dem Mittelwertsatz, was mir auch einleuchtet.

Ebenso leuchtet mir ein, dass die "unendlich kleinen" Objekte, die letztlich zur Berechnung der Riemann-Summe dienen, besser Kegelstümpfe als Zylinder sein sollten, da allgemein betrachtet eine Kurve eben nicht horizontal verläuft und die komplexere Formel für Kegelstümpfe ja auch für Zylinder gilt.

Da kommen wir aber noch einmal zu meinem urpsrünglichen Problem zurück, dass ich einfach nicht verstehen kann weshalb dann für die Berechnung von Flächeninhalten und Volumina die Riemann-Summe auf Zylinder heruntergebrochen werden kann, bei der Mantelfläche hingegen die Mantellinie "korrekter" über die Schräge approximiert werden muss und man somit den Pythagoras integrieren muss.
Zumal doch spätestens nach Annahme gleicher Radii

(

in der Herleitung

f (x^{⋆ ⋆}))

des "Kegelstumpfes" nicht mehr wirklich von einem Kegelstumpf gesprochen werden kann, sondern von einem Zylinder.

Warum also dürfen die Radii des Kegelstumpfes gleichgesetzt werden,

Δ x

und

Δ k

aber nicht? Das möchte mir nicht in den Kopf gehen..

DrBoogie aktiv_icon

17:34 Uhr, 21.12.2020

"Da kommen wir aber noch einmal zu meinem urpsrünglichen Problem zurück, dass ich einfach nicht verstehen kann weshalb dann für die Berechnung von Flächeninhalten und Volumina die Riemann-Summe auf Zylinder heruntergebrochen werden kann, bei der Mantelfläche hingegen die Mantellinie "korrekter" über die Schräge approximiert werden muss und man somit den Pythagoras integrieren muss."

Ach so, das war deine Frage?

Das ist einfach. Wir haben einmal einen Zylinder mit dem Radius

r

und der Höhe

Δ x

und einmal einen Kegelstumpf mit den Radien

r

und

r + Δ r

und der Höhe

Δ x

.
Das Volumen des Zylinders ist

π r^{2} Δ x

und Volumen des Kegelstumpfes ist

\frac{π}{3} (r^{2} + r (r + Δ r) + (r + Δ r)^{2}) Δ x = \frac{π}{3} (3 r^{2} + 3 r Δ r + Δ r^{2}) Δ x

.
Das Verhältnis von beiden Volumina ist also

1 + \frac{Δ r}{r} + (\frac{Δ r}{\sqrt{3} r})^{2}

und das ist ungefähr

1

bei kleinen

Δ r

-> und zwar UNABHÄNGIG DAVON, wie

Δ r

und

Δ x

zueinander stehen. Also unabhängig davon, was für Funktion wir haben.

Wir hatten aber gesehen, dass bei der Fläche das Verhältnis der Fläche des Kegelstumpfes und des Zylinders NICHT "ungefähr 1" ist, sondern kann auch weit davon entfernt sein und hängt wesentlich von der Funktion ab.

Das ist der Unterschied. Bei Volumen haben wir bewiesen, dass die Volumina des Kegelstumpfes und des Zylinders annähernd gleich sind. Bei der Fläche habe ich schon früher gezeigt, dass dies nicht der Fall ist. Eine "philosophische" Erklärung gibt's nicht dazu, aber Mathe ist auch keine Philosophie.

Binary91 aktiv_icon

17:49 Uhr, 21.12.2020

Danke für Deine schnelle Rückmeldung.

Genau, das kann ich so wie Du es belegst auch nachvollziehen. Aber das habe ich auch bei Deinem ersten Post bereits "rechnerisch" nachvollziehen können.

Ich versuche noch, es mit Worten logisch zu erklären bzw. wie Du es formulieren würdest: "philosophisch" zu beweisen :-)

Hängt es damit zusammen, dass bei einem Flächeninhalt bzw. einem Volumen die zweidimensionale "Strecke", die der Funktionsgraph selbst darstellt, vernachlässigbar ist, wobei stattdessen bei der Berechnung der Mantelfläche ja ausschliesslich die "Strecke" des Funktionsgraphen zum Tragen kommt? Kann man sich das so logisch erklären oder muss ich mir diesen Zusammenhang einfach noch ein paar Stunden anschauen bis es "KLICK" macht?

DrBoogie aktiv_icon

17:53 Uhr, 21.12.2020

"Hängt es damit zusammen, dass bei einem Flächeninhalt bzw. einem Volumen die zweidimensionale "Strecke", die der Funktionsgraph selbst darstellt, vernachlässigbar ist, wobei stattdessen bei der Berechnung der Mantelfläche ja ausschliesslich die "Strecke" des Funktionsgraphen zum Tragen kommt?"

Die Idee ist nicht abwegig. Denn Volumen ist dreidimensional und Fläche zweidimensional. Daher hat die Strecke einen größeren Einfluss auf die Fläche als auf das Volumen. Deshalb kann man es hier auch "philosophisch" begründen.

Aber allgemein sind solche Überlegungen immer mit Vorsicht zu genießen, Mathematik folgt nicht immer der alltäglichen Logik.

Binary91 aktiv_icon

17:58 Uhr, 21.12.2020

Ok, wenn Du sagst dass diese Begründung legitim ist und nicht einfach zufällig auch zutrifft, dann bin ich glücklich, es zu begreifen.

Ansonsten bin ich glücklich, dass Dein letzter Satz zutrifft.

Vielen Dank auf jeden Fall für Deine große Hilfe!

Beste Grüsse und frohe Weihnachten.

Binary91 aktiv_icon

10:26 Uhr, 22.12.2020

Guten Morgen noch einmal,

sorry, dass ich dieses Thema noch einmal aufbringe. Wir bzw. ich habe jetzt verstanden, dass zur Berechnung der Mantelfläche die Schräge des Funktionsgraphes berücksichtigt werden muss.

Jetzt frage ich mich aber im Umkehrschluss, warum man das dann nicht auch für die allgemeine Integration bzw. zur Volumenberechnung verwendet? Nur, weil es dort "nicht so sehr ins Gewicht fällt", ist das doch kein Grund dafür es nicht noch besser zu approximieren, oder?

Am Beispiel der allg. Integration zur Berechnung der Fläche unter der Kurve wird einfach mit minim kleinen Rechtecken kalkuliert:

lim_{Δ x \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (i \cdot Δ x) Δ x

Stattdessen müsste bzw. könnte man den "Fehler" zwischen Rechteck und Funktionsgraph, welcher annäherungsweise ja ein Dreieck bzw. die Querschnittsfläche eines Kegels darstellt, doch ebenfalls inkludieren:

Fläche

= f (i \cdot Δ x) Δ x + (f ((i + 1) \cdot Δ x) - f (i \cdot Δ x)) \frac{1}{2} Δ x

Es würde resultieren:

lim_{Δ x \to 0} \sum_{i = 1}^{n} \frac{f (i \cdot Δ x) + (f ((i + 1) \cdot Δ x))}{2} Δ x

Was meinst Du dazu?

DrBoogie aktiv_icon

10:47 Uhr, 22.12.2020

"Am Beispiel der allg. Integration zur Berechnung der Fläche unter der Kurve wird einfach mit minim kleinen Rechtecken kalkuliert:"

Na, das ist nicht wirklich die Formel. Die richtige Formel ist

\sum_{n} f (ξ_{n}) (x_{n + 1} - x_{n})

, wobei

ξ_{n}

beliebig aus

[x_{n}, x_{n + 1}]

gewählt werden kann. Für stetige Funktionen kann man auch

ξ_{n} = x_{n}

nehmen, aber für allgemeine Riemann-integrierbare Funktion darf man es nicht. Allgemein muss man die Untersummen und die Obersummen betrachten, wie es hier beschrieben ist: de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral

Aber auch für stetige Funktionen kann man zwar

ξ_{n} = x_{n}

nehmen, muss man aber nicht. Genauso gut kann man z.B.

ξ_{n} = \frac{x_{n} + x_{n + 1}}{2}

nehmen. Und man kann natürlich auch genauso gut

f (ξ_{n})

durch

\frac{f (ξ_{n}) + f (η_{n})}{2}

ersetzen, wobei

ξ_{}

und

η_{n}

beide in

[x_{n}, x_{n + 1}]

liegen. Es gibt ganze Theorie der numerischen Integration, die auf verwandten Formeln basiert, Stichwort "Quadraturformeln".

Zurück zu dem Rotationskörper: natürlich kann man auch das Volumen anhand von Kegelstümpfen berechnen und nicht anhand von Zylindern. Kannst du selbst als Übung machen. Das Ergebnis bleibt natürlich dasselbe. Deshalb macht man das nicht (denn die Berechnung mit Zylindern ist etwas einfacher).

Binary91 aktiv_icon

11:15 Uhr, 22.12.2020

Es ist schon interessant, wie unterschiedlich tief im Unterricht in die Materie eingegangen wird.
Unser Prof. (WiWi) hat uns die Formel so anhand der Unter- bzw. Obersumme hergeleitet, wie ich sie geschrieben hatte.

Umso mehr bestätigt mich der Fakt, dass die ergänzende Addition des minimalen Fehlerdreiecks irrelevant für das Resultat ist in meiner Annahme, dass bei Flächeninhalten und Volumina die Funktionswerte selbst (ergo der Radius) multipliziert mit der Höhe den match-entscheidenden Löwenanteil am Resultat ausmachen. Bei der Berechnung der Mantelfläche hingegen ist die Mantellinie

Δ k

ein wesentlicher Bestandteil der Formel, weshalb er selbst bei minimalem Fehlerdreieck noch zu viel Gewicht besitzt, als dass man ihn mit

Δ x

gleichsetzen und somit vernachlässigen könnte.

Ich hoffe, ich liege darin richtig, denn so schreibe ich es nun in meine Formelsammlung.

Danke für die Hilfe!

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