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Marginaldichte aus Verbunddichte

Universität / Fachhochschule

14:14 Uhr, 07.08.2022

Hallo,

wir haben folgendes aufgeschrieben:

\int_{z} \int_{x} x^{2} \cdot f (x, z) d x d z = \int_{x} x^{2} \cdot f (x) d x

Dabei sind

f

Dichtefunktionen und berechnet werden soll der Erwartungswert von

x^{2}

über

x

und

z

.

Meine Frage ist nun, ob das immer gilt. Ich meine aus sich von

z

ist der Ausdruck

x^{2}

ja eine Konstante.

D . h

. die Verteilung von

z

spielt für den Erwartungswert von

x^{2}

keine direkte Rolle. Aber durch die Verbunddichte

f (x, z)

kann doch

z

einen indirekten Einfluss auf die Verteilung von

x

haben. Gilt das dann nur, wenn

x

und

z

statistisch unabhängig sind

d . h

. gilt

f (x, z) = f (x) \cdot f (z)

?

Danke vorab.

13:33 Uhr, 08.08.2022

Das hat nichts mit Unabhängigkeit zu tun, das gilt auch für abhängige Zufallsgrößen. Und zwar wird zunächst die Integrationsreihenfolge vertauscht:

\int_{z} \int_{x} x^{2} \cdot f_{X, Z} (x, z) d x d z = \int_{x} \int_{z} x^{2} \cdot f_{X, Z} (x, z) d z d x

.

Jetzt kann man schon mal

x^{2}

aus dem inneren Integral rausziehen, weil es nicht von der dortigen Integrationsvariable abhängt:

\dots = \int_{x} [x^{2} \cdot \int_{z} f_{X, Z} (x, z) d z] d x = \int_{x} x^{2} \cdot f_{X} (x) d x

,

letzteres, weil

f_{X} (x) = \int_{z} f_{X, Z} (x, z) d z

nun mal die Randverteilungsdichte bzgl. der Komponente

X

ist - auch bei abhängigen

X, Z

!!!

P.S.: Ich finde es nicht gut, alle drei hier involvierten Dichten mit ein- und demselben

f

zu bezeichnen - insbesondere nicht die beiden Randdichten, die beide einargumentig sind und daher miteinander verwechselt werden können!!!

"

f_{X, Z}

als Gesamtdichte mit den beiden Randverteilungsdichten

f_{X}

und

f_{Z}

" klingt doch übersichtlicher als "

f

als Gesamtdichte mit den beiden Randverteilungsdichten

f

und

f

" ...

16:16 Uhr, 14.08.2022

Hey, vielen Dank, jetzt ist es klar.

Ja, deine Notation ist sauberer :-)

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