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Markov-Kette, Absorbtionswahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Absorbtionswahrscheinlichkeit, erwartete Schrittanzahl, Markov-Kette

MathMP

21:05 Uhr, 22.02.2023

Hallo, ich beschäftige mich gerade mit einer Markov Kette. Der Übergangsgraph ist "unten" anhand einer Zeichnung gegeben.
Ich möchte für alle Zustände

i = {1,2,3,4}

die Absorptionswahrscheinlichkeit

P_{i} (0)

berechnen und die erwartete Schrittanzahl bis man diesen Zustand "0" erreicht.

P_{i} (0)

bedeutet: Wahrscheinlichkeit, dass man vom Zustand

i

in Zustand 0 kommt.

Meine Überlegungen:
Absorptionswahrscheinlichkeiten

P_{i} (0)

machen mir keine Probleme:

P_{2} (0) = 0

P_{3} (0) = 0

P_{4} (0) = 0

P_{0} (0) = 1

P_{1} (0) = 0.25 \cdot P_{1} (0) + 0.5 \cdot P_{0} (0) + 0.25 \cdot P_{2} (0)

mit

P_{0} (0) = 1

und

P_{2} (0) = 0 \to P_{1} (0) = \frac{2}{3}

Dürfte richtig sein, oder?

Die Schritanzahl macht mir aber Probleme:
Für die Zustände

m_{i}

mit

i = {2,3,4}

gilt

m_{i} = \infty

Für

m_{0} = 0

Für

m_{1}

würde ich wieder eine Gleichung aufstellen:

m_{1} = 0.25 m_{1} + 0.25 m_{2} + 0.5 m_{2}

Mein Problem, da zb

m_{2}

\infty

ist wäre

m_{1}

ja auch

\infty

und das kann glaube ich nicht stimmen? Was mache ich hier falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

21:20 Uhr, 22.02.2023

Die erwartete Schrittzahl von 1 nach 0 ist ja auch tatsächlich unendlich.

Was du suchst ist stattdessen der BEDINGTE Erwartungswert dieser Schrittzahl unter der Bedingung, dass man überhaupt in Punkt 0 landet. Wenn ich den mal auch mit

m_{1}

bezeichne:

m_{1} = 0, 25 \cdot m_{1} + 0, 75 \cdot m_{0} + 1

, umgestellt

m_{1} = \frac{4}{3}

MathMP

12:06 Uhr, 26.02.2023

Alles klar, vielen Dank.

MathMP

18:59 Uhr, 01.05.2023

Hab mir nochmal das Beispiel durchgedacht, müsste die Lösung nicht:

m_{1} = 1 + \frac{1}{4} \cdot m_{1} + \frac{1}{2} \cdot m_{0}

sein?

Bei

m_{0}

hast du anstatt

\frac{1}{2}

nämlich

0.75

geschrieben, handelt es sich lediglich um einen Schreibfehler oder verstehe ich etwas falsch (zwar ist

m_{0}

sowieso null aber macht mich dennoch etwas unsicher)?

HAL9000

09:48 Uhr, 02.05.2023

Nein, ich habe es genauso gemeint, wie ich es geschrieben habe: Im Zustand 1 befindlich bleibt die Kette mit Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{4}

dort, und verlässt ihn mit Wahrscheinlichkeit

1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

. Unter der Bedingung

B

, dass die Kette aber irgendwann sicher im Punkt 0 landet, geht diese komplette Wahrscheinlichkeit

\frac{3}{4}

in den Übergang

1 \to 0

.

Im vorliegenden Fall ist es in der Rechnung ja eigentlich egal, da

m_{0} = 0

ist. Was anderes wäre es aber, wenn wir beispielsweise noch einen Zwischenzustand "5" hätten mit beispielsweise

P (1 \to 0) = \frac{1}{3}

und

P (1 \to 5) = \frac{1}{6}

und der Weg über 5 dann sicher (auf welchen Wegen auch immer) auch im absorbierenden Zustand 0 endet. In dem Fall würde man mit

λ = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}

und

P_{B} (1 \to 0) = \frac{1}{3} \cdot λ = \frac{1}{2}

und

P_{B} (1 \to 5) = \frac{1}{6} \cdot λ = \frac{1}{4}

im solchermaßen "bedingten Markov-Graphen" weiterrechnen müssen.

MathMP

10:14 Uhr, 03.05.2023

Alles klar, danke.

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