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Markov-Kette, Perioden

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

MathMP

22:59 Uhr, 03.03.2023

Hallo, ich beschäftige mich gerade mit Markov-Ketten und habe etwas Probleme die Periode von Zuständen einer Markov-Kette zu verstehen. Als exemplarisches Beispiel habe ich unten ein Beispiel angefügt.
ACHTUNG: Die Übergangsmatrix mache ich immer mit "links: von" und "oben: zu". Viele machen das umgekehrt mit der transponierten Matrix.

Gesucht sind also die Perioden für alle Zustände und anhand dieser Perioden soll man dannach die Wahrscheinlichkeit von

P [X_{151} = a | X_{0} = a]

ermitteln.

Meine Lösungsgedanken:
Perioden kann man nur von rekurrenden Zuständen ermitteln, weil es nur von diesen Zuständen, egal wo man hingeht auch wieder einen Weg zurück gibt. Bei transienten Zuständen gibt es mindestens einen Weg, welchen man gehen kann, ohne jemals wieder zurück zu kehren.
Allerdings finde ich dann nur einen rekurrenten Zustand "c", wie kann ich dann nun die Periode ermitteln und wie damit die gesuchte Wahrscheinlichkeit

P [X_{151} = a | X_{0} = a]

berechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

09:31 Uhr, 04.03.2023

> Perioden kann man nur von rekurrenden Zuständen ermitteln

Das ist falsch: Rekurrenz bedeutet, dass man fast sicher irgendwann wieder in den Zustand zurückkehrt.

Die Periode von Zustand

i

ist hingegen das ggT aller Schrittzahlen

n

, für die man eine positive Rückkehrwahrscheinlichkeit

p_{i i}^{(n)}

hat - das ist was ganz anderes, und kann auch bei transienten Zuständen bestimmt werden.

Im vorliegenden Fall haben

a, b

Periode 2,

c, e

Periode 1 und schließlich

d

Periode

\infty

.

Bezeichnen wir mit

q_{a} = P (X_{151} = a ∣ X_{0} = a)

, dann ist

1)

q_{a} = q_{b} = 0

wegen der Periode 2 und der Ungeradheit von 151

2)

q_{d} = 0

wegen Periode

\infty

q_{c} = 1

weil

c

absorbierend ist.

4)

q_{e} = {(\frac{3}{4})}^{151} \approx 1.36 \cdot 1 0^{- 19}

, weil man nur dann von

e

nach

e

kommt, wenn man dauerhaft in diesem Zustand bleibt - sobald man ihn verlässt, besteht keine Rückkehrchance.

MathMP

12:06 Uhr, 04.03.2023

Danke.

Frage

1)

Mit

q_{e} = {(\frac{3}{4})}^{151}

berechnen Sie

P [X_{151} = e | X_{0} = e],

also dass man im "nullten" Schritt in "e" startet und im "151-ten" Schritt wieder in

e

ist, oder ?

Frage

2)

Die vorliegende Markov-Kette würde man als periodisch bezeichnen, weil NICHT jeder Zustand die Periode 1 besitzt, richtig?
Eine aperiodische Markov-Kette besteht aus Zuständen, welche alle, die Periode 1 besitzen.

HAL9000

14:03 Uhr, 04.03.2023

Zu 1) Es ist das, was da steht:

P (X_{151} = e ∣ X_{0} = e)

ist die BEDINGTE Wahrscheinlichkeit für Zustand

e

nach dem 151.Schritt, wenn man in

e

gestartet ist.

Zu 2) Nein, eine Markov-Kette nennt man nur dann periodisch, wenn alle Zustände dieselbe Periode

d > 1

besitzen - das ist hier offenkundig NICHT der Fall. Diese Markov-Kette hier ist also weder periodisch noch aperiodisch.

MathMP

10:35 Uhr, 06.03.2023

Alles klar, danke.

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