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Markov-Ungleichung

Universität / Fachhochschule

12:32 Uhr, 21.10.2019

Sei

X

eine nichtnegative Zufallsvariable (mit Werten aus

N)

und

E (X)

der Erwartungswert
von X. Zeigen Sie die Markov-Ungleichung:

P r (X

≥

t)

≤

E \frac{X}{t}

für alle

t > 0

18:37 Uhr, 22.10.2019

Es gilt

X (ω) \geq t \cdot 1_{X \geq t} (ω)

für alle

ω \in Ω

, denn:

a) Ist

X (ω) < t

, so ist

1_{X \geq t} (ω) = 0

, und die dann zu beweisende Ungleichung

X (ω) \geq 0

folgt aus Voraussetzung "

X

ist nichtnegative Zufallsgröße".

b) Ist

X (ω) \geq t

, so ist

1_{X \geq t} (ω) = 1

, und die dann zu beweisende Ungleichung

X (ω) \geq t

ist laut Fallbedingung ja erfüllt.

Somit gilt auch

E (X) \geq E (t \cdot 1_{X \geq t}) = t \cdot E (1_{X \geq t}) = t \cdot P (X \geq t)

22:28 Uhr, 22.10.2019

Vielen Dank :-)

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