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Markov und Tschebyscheff Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Statistik, Varianz

huida aktiv_icon

21:24 Uhr, 11.02.2019

Hallo an alle,

Ich hab eine Frage bzgl der Aufgabe

C

(siehe Bild).

Zunächst mal zur

a)

Da ist

E [X] = \frac{7}{2}

und Var

[

= \frac{35}{12}

bei der

b) 8 \cdot E [X] = 28

und 8*Var

[

X]=

\frac{70}{3}

zur

c) \frac{12}{7} \cdot 28 = 48

. Eingesetzt in die Markov-Ungleichung Pr

[

X>=48]

\leq \frac{28}{48} = \frac{7}{12}

Für Tschbyscheff gilt ja

P [| x - E [X] | \geq t] \leq

Var

[

/ t^{2}

Hab ich auch hier den Wert

t = 48

oder den Wert

20 (20

daher weil, die

48

ist um

20

Einheiten vom Erwartungswert

28

entfernt. Und nach unten ist es die

8)

.
Ich würde zwei unterschiedliche Werte erhalten.
Für ersteres wäre es

\leq \frac{70}{3 \cdot 48 \cdot 48}

und letzteres

\leq \frac{70}{3 \cdot 20 \cdot 20}

Ist das überhaupt möglich, dass es zu so starken Abweichung zwischen der Markov und Tschbyscheff Abschätzung kommt?

Danke

HAL9000

12:24 Uhr, 12.02.2019

Es geht bei Tschebyscheff natürlich um

t = 20

mit der Idee

P (X \geq 48) = P (X - 28 \geq 20) \leq P (∣ X - 28 ∣ \geq 20) \leq \dots

.

> Ist das überhaupt möglich, dass es zu so starken Abweichung zwischen der Markov und Tschbyscheff Abschätzung kommt?

Warum nicht? Da gibt es keine Vorschriften.

Übrigens: Was hast du denn für den genauen Wert

p = P (X \geq 48)

heraus? Mit dem zeigt sich nämlich, dass beide Abschätzungen nicht das Gelbe vom Ei sind.

huida aktiv_icon

20:28 Uhr, 12.02.2019

Für Tscheby. erhalte ich den genauen Wert

: P (| X - 28 | \geq 20) \leq \frac{70}{1200} = \frac{7}{120}

Für Markov war es

P (X \geq 48) \leq \frac{7}{12}

.
Also 10mal größer. Ich erklär das mir so, dass beim Tscheby beidseitig abgeschätzt wird und daher ein so großer Abstand zwischen beiden liegt.
Welches nun besser ist, ist mal dahergelegt. Ich glaube, dass wenn man wissen möchte wie groß die Wahrscheinlichkeit ist bei

X \geq 48,

dann eignet sich eher die Markov-Abschätzung. Und falls man es beidseitig wissen will, dann halt Tscheby. Was meint Du? Gibt es eine Empfehlung wann man welches anwenden sollte?

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