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Markovkette - Periodizität & Klassen

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Finanzmathematik

Tags: Markovkette Periodizität Klassen

 
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Stochastikerin

Stochastikerin

17:05 Uhr, 01.03.2023

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Die Aufgabe befindet sich im Anhang :-)

Mit MK bin ich eigentlich gut vertraut.


Wie bestimme ich nochmal, mit richtiger Schreibweise, die (un-) wesentlichen Klassen und die Periodizität?

Und:
Bestimmen Sie "Alle" invarianten Verteilungen - Wann hat eine MK denn mehr als eine invariante Verteilung? (Erstmal allgemein)

Invariante Verteilung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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HAL9000

HAL9000

18:48 Uhr, 01.03.2023

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a) 1,2,3,5,6 sind offenbar miteinander verbunden, denn man kommt von jedem dieser Zustände in jeden anderen.

b) 4 ist unwesentlich, denn man kommt von 4 nach 5, aber nicht umgekehrt.

c) Die Kette ist aperiodisch, denn man kommt von 1 wieder zurück nach 1 in drei aber auch in fünf Schritten, und es ist ggT(3,5)=1. Und Zustand 4 hat sowieso Periode 1.

Stochastikerin

Stochastikerin

09:29 Uhr, 02.03.2023

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Bedeutet:

Wenn ich einen "abgetrennten bereich" habe, aus dem ich rauskomme, aber nicht reinkomme, teilt sich das somit in Klassen auf.
Ist dann nur 4 unwesentlich und 1,2,3,5 und 6 wesentlich? Oder wie ist der genaue Unterschied zwischen wesentlich und unwesentlich.

Das mit aperiodisch habe ich verstanden danke :-)
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HAL9000

HAL9000

11:05 Uhr, 02.03.2023

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Schau dir die Definitionen an:

Unwesentlich ist ein Zustand i, wenn es einen anderen Zustand j gibt mit ij aber j/i. Alle anderen Zustände sind wesentlich.

Insbesondere sind Zustände derselben Klasse verbundener Zustände entweder alle wesentlich oder alle unwesentlich. Im vorliegenden Fall sind also 1,2,3,5,6 wesentlich.

Stochastikerin

Stochastikerin

12:09 Uhr, 02.03.2023

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Absolut verständlich erklärt! :-)

Wie sieht es noch mit den invarianten Verteilungen aus? Ich kenne die "Regeln":


Sei π eine invariante Verteilung und P eine Übergangsmatrix

Dann ist Pπ=π

und i=1nπi=1



Wann gibt es allerdings >1 invariante Verteilungen und wie sind > alle < zu bestimmen?
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HAL9000

HAL9000

14:11 Uhr, 02.03.2023

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Hmm, ich kenne das mit der invarianten Verteilung eher mit PTπ=π oder eben mit Zeilenvektor geschrieben πTP=πT. Aber vielleicht sind eure stochastischen Ü-Matrizen anders gemeint, mit Spaltennummer als Ausgangs- und Zeilennummer als Zielzustand, und entsprechend mit Spaltensummen 1. Normalerweise besteht aber die Übereinkunft bei Ü-Matrizen von Markovketten, von Zeilensummen 1 auszugehen.


Der Zustandsraum zerfällt in Klassen, wo innerhalb einer Klasse die Zustände verbunden sind, Besitzt eine Markov-Kette nur eine einzige Klasse mit wesentlichen Zuständen, dann gibt es nur eine (und damit auch eindeutige) invariante Verteilung π, die zudem die Eigenschaft π(j)=0 für alle evtl. noch vorhandenen unwesentlichen Zustände j hat.

Das oben ist so ein Fall: Es gibt nur die eine Klasse {1,2,3,5,6} mit wesentlichen Zuständen, während die andere Klasse {4} unwesentlich ist. Dementsprechend gibt es hier auch nur eine invariante Verteilung π=(14,14,18,0,18,14)T, die zugleich die stationäre Verteilung dieser Markovkette ist - ganz gleich, mit welcher Startverteilung man beginnt.

Dabei spreche ich wohlgemerkt nur von Markov-Ketten mit endlichem Zustandsraum. Bei abzählbarem Zustandsraum muss man aufpassen, da gilt die eine oder andere Aussage nicht mehr bzw. nur noch mit gewissen Zusatzvoraussetzungen (was ich jetzt nicht näher ausführen will).

Wenn es mehrere Klassen mit wesentlichen Zuständen gibt, dann kann man auf jeder Klasse für sich eine invariante Verteilung berechnen. (*)
Die Gesamtmenge aller invarianten Verteilungen der Markovkette werden dann durch die Konvexkombinationen dieser einzelnen Verteilungen (*) gebildet.
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