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Maschinenzahlen

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anonymous

10:18 Uhr, 24.04.2020

Es sei

b \geq 2

eine gerade ganze Zahl. Jede reelle Zahl

x \neq 0

lässt sich in der normalisierten Darstellung

x = \pm \sum_{j = 1}^{\infty} d_{j} \cdot b^{- j} \cdot b^{e}

mit

d_{j} \in {0, 1, ..., b - 1}, e \in ℤ

und

d_{1} \neq 0

schreiben.

Für ganze Zahlen

m > 0, r < 0

und

R > 0

bezeichne

F (b, m, r, R)

die Menge der Maschinenzahlen zur Basis

b,

mit Mantissenlänge

m

und Exponentenbereich

{r, ..., R},

also

F (b, m, r, R) = {\pm f \cdot b^{e} : f = \sum_{j = 1}^{m} d_{j} \cdot b^{- j}

mit

d_{j} \in {0, 1, ..., b - 1}, d_{1} \neq 0, r \leq e \leq R}

a)

Wieviele Zahlen können in

F (b, m, r, R)

dargestellt werden?

b)

Zeigen Sie: Die betragskleinsten in

F (b, m, r, R)

darstellbaren Zahlen haben den Betrag

x_{min} = b^{r - 1},

die betragsgrößten in dieser Menge darstellbaren Zahlen haben den Betrag

x_{max} = (1 - b^{- m}) b^{R}

Okay, mittlerweile habe ich verstanden, wie wir die Zahlen normalisieren, wie wir runden, was es mit der Mantissenlänge auf sich hat etc.

Jetzt geht es um die Menge.

Mein Ansatz:

1)

die Zahl 0 kann man darstellen

(+ 1)

2)

Jede Zahl kann positiv oder negativ sein (Müssen also mit 2 multiplizieren)

3)

Insgesamt haben wir

R - r + 1

verschiedene Exponenten

4)

pro Mantissenstelle

d_{j}

haben wir

b

Möglichkeiten

(0, 1, ..., b

−

1)

5)

Wir müssen nur aufpassen:

d_{1}

hat nur

(b - 1)

Möglichkeiten, da

d_{1} \neq 0

Wie kann ich das jetzt aber irgendwie umformulieren?

Ich weiß, dass eine Maschinenzahl definiert ist als Vorzeichen

\cdot

Mantisse

\cdot

Exponent

aber weiter komme ich nicht

Zu

b)

hätte ich jetzt gesagt, dass wir die Darstellung irgendwie umformen müssen, um das Minima und Maxima ausrechnen zu können.. Aber wie?

Wir wissen ja, dass jede Zahl

x

sich zusammensetzt aus:

x =

Vorzeichen

\cdot

Mantisse

\cdot

Exponent

Da wir die betragsmäßigste Zahl suche, ist unser Vorzeichen ja positiv bzw. kann direkt wegfallen.

b^{r - 1} = b^{r} \cdot b^{- 1}

b^{r}

ist ja unsere Basis mit dem sowieso schon kleinsten Exponenten. Das würde ja passen.
Wie kann ich aber mit

b^{- 1}

arbeiten?

(1 - b (- m)) b^{R} = b^{R} - b^{R} \cdot b^{- m}

b^{R}

ist unsere Basis mit dem höchsten Exponenten, okay, passt. Wie gehts aber weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:25 Uhr, 24.04.2020

> 1) die Zahl 0 kann man darstellen (+1)

Was meinst du mit "kann man" ? Jedenfalls ist 0 NICHT in

F (b, m, r, R)

enthalten, was an der dortigen Forderung

d_{1} \neq 0

liegt.

Wenn die 0 drin wäre, müsste ja übrigens auch die eine Antwort in b)

x_{min} = 0

sein. ;-)

anonymous

11:43 Uhr, 24.04.2020

Ahh, macht Sinn. Okay, also kann man die 0 nicht als Zahl darstellen, okay!:-)

Habe allerdings immer noch keinen weiteren Ansatz dafür..

Es ist mir übrigens ein Fehler im Maxima in

b)

unterlaufen:

Es muss

b^{- m}

sein

HAL9000

11:47 Uhr, 24.04.2020

Deine Überlegungen 2) bis 5) sind richtig, du musst die entsprechenden Anzahlen jetzt nur noch miteinander multiplizieren (bei 4 ist diese Anzahl natürlich eine passende Potenz von

b

anonymous

12:35 Uhr, 24.04.2020

2 \cdot (R - r + 1) \cdot (b - 1) \cdot b^{m - 1}

So?

Also

\pm \cdot

Exponenten

\cdot

Möglichkeiten für erste Stelle

\cdot

Möglichkeiten für den Rest, da Mantissenlänge

m

und wir

m - 1

Möglichkeiten haben ?

HAL9000

15:08 Uhr, 24.04.2020

Ja, hab ich auch raus.

P.S.: Die in der Realität verwendeten Floatingpoint-Zahlen (in aller Regel mit

b = 2

) lassen natürlich noch Platz im Kodierraum für andere Werte als nur die aus

F (2, m, r, R)

, zumindest für Null, die beiden Unendlichs sowie NaN ("not a number").

anonymous

16:02 Uhr, 24.04.2020

Sehr schön, den Teil habe ich verstanden.

Jetzt hänge ich aber bei Aufgabenteil

b)

Meine Ansätze sind oben

Dadurch, dass

d_{1} \neq 0

sein kann, hätte ich halt gesagt, dass

b^{- 1} = \frac{1}{b} =

"kleinste Darstellung" ist.. Aber der letzte Schritt geht mir halt unter

(analog zum Maxima)

HAL9000

16:46 Uhr, 24.04.2020

Ich werd aus deinen obigen Betrachtungen mit sicher vielen richtigen Gedanken nicht recht schlau, wo es denn nun eigentlich noch klemmt?

Man kann im Rahmen der Wertebeschränkungen für

e

und die

d_{j}

nachweisen

(1) b^{- 1} \leq \sum_{j = 1}^{m} d_{j} \cdot b^{- j} \leq 1 - b^{- m}

(2) b^{r} \leq b^{e} \leq b^{R}

.

Alle vier Grenzen können dabei auch angenommen werden. Damit sollte klar sein, dass für das Produkt dieser beiden stets positiven Terme dann auch

b^{r} \cdot b^{- 1} \leq b^{e} \cdot \sum_{j = 1}^{m} d_{j} \cdot b^{- j} \leq b^{R} \cdot (1 - b^{- m})

gilt UND diese Grenzen auch angenommen werden können: Die untere für

d_{1} = 1, d_{2} = \dots = d_{m} = 0, e = r

und die obere für

d_{1} = d_{2} = \dots = d_{m} = b - 1, e = R

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