Masse mit Volumenitegral berechnen

Ich habe hier eine Aufgabe zu lösen, bei der ich gerade nicht weiter komme. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein Körper wird durch die Flächen x+z=2, ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=4}$ und z=0 begrenzt. Die Dichte betrage ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=3{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$. Welche Masse besitzt der Körper? Hinweis: Verwenden Sie Zyllinderkoordinaten.

Ich habe nun erstmal das Volumen berechnet und komme dabei auf ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=8\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Die Masse wäre ja nun Dichte mal Volumen, also ${\displaystyle \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=3{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot 8\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Meine Frage ist nun, was ich da für das y einsetzen muss?

Als Ergebnis soll ${\displaystyle \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=24\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ rauskommen.

Danke schonmal.

Ah OK, vielen Dank. Das probiere ich gleich mal aus.



Viele Grüße,

Martin

Also mit meiner Integration habe ich jetzt 0 herausbekommen. Es liegt also irgendwo noch ein Fehler meinerseits vor... :)

Habe ich das Integral überhaupt so

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }_{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^2{\int }_{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{2-\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}3{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

richtig aufgestellt? Ich habe für das y einfach ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eingesetzt.

Was mache ich falsch?