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Massenschwerpunkt berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Timo1 aktiv_icon

12:46 Uhr, 16.01.2020

Hallo,

ich sitze derzeit an einer Aufgabe, bei der ich den Massenschwerpunkt eines Kreises berechnen soll. Die genaue Aufgabe lautet:
Eine Menge im

ℝ^{2}

wird von der Kurve

x^{2} + y^{2} + 1 = 2 (x + y)

berandet. Berechnen Sie ihren Massenschwerpunkt wenn die Dichte durch

ρ (x, y) = ∣ x y ∣

gegeben ist.

Aus den vorherigen Aufgaben weiss ich, dass sich der Massenschwerpunkt mit folgenden Integralen berechnen lässt:

x_{s} = \frac{1}{M} \int \int ρ x d (x, y) y_{s} = \frac{1}{M} \int \int ρ y d (x, y)

mit

M = \int \int ρ d (x, y)

Mein Problem ist es, die Integrationsgrenzen zu bestimmen. Kann mir dabei jemand helfen, also einen Hinweis geben?

Mit freundlichen Grüßen
Timo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

15:15 Uhr, 16.01.2020

. .

. probier's doch mal mit

\int_{0}^{2} \int_{1 - \sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}}}^{1 + \sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}}} ...

d x d y

;-)

Timo1 aktiv_icon

12:30 Uhr, 17.01.2020

Hallo,

mit deinen Grenzen schaffe ich es nicht das Integral zu lösen. Wäre eine Umwandlung in Polarkoordinaten eine Option?

Mfg

ledum aktiv_icon

13:04 Uhr, 17.01.2020

Hallo
ja Polarkoordinaten. x=r+rcos(t), y=r+rsin(t) mit

r

von 0 bis 1 und

t

von 0 bis

2 π

würde ich auch nehmen.
Gruß ledum

Timo1 aktiv_icon

15:11 Uhr, 17.01.2020

Vielen Dank.

Mit Polarkoordinaten konnte ich M gut ausrechnen. Für M habe ich

M = 1 / 2

erhalten. Versuche ich nun

x_{s}

oder

y_{s}

auszurechnen erhalte ich

0

als Ergebnis. Ich habe die Funktion mal mit Wolframalpha geplottet und der Mittelpunkt müsste bei (1/1) liegen oder nicht?

ledum aktiv_icon

15:24 Uhr, 17.01.2020

Hallo
für

m

hab ich was anderes raus und xs kann nicht 0sein da

x > 0

und

ρ > 0

im Integral , also hast du en Fehler gemacht. lass dir das Integral von Wolfram

α

oder nem Integralrechner zur Kontrolle bestimmen.
Gruß lul

Timo1 aktiv_icon

15:59 Uhr, 17.01.2020

Ich schreibe mal meinen Rechenweg auf damit mein Fehler gefunden werden kann.
Für M habe ich folgendes Integral verwendet:

M = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} ∣ r c o s (φ) r s i n (φ) ∣ r d r d φ

Da ich erst nach r integriere habe ich den Betrag von cos und sin vor das Integral geholt. Mit eingesetzten Grenzen für r erhalte ich

1 / 4

, was ich vor das äußere Integral geschrieben habe.

\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} ∣ c o s (φ) s i n φ ∣ d φ

Dieses Integral habe ich in vier Integrale unterteilt. Ich erhalte:

\frac{1}{4} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} c o s φ s i n φ d φ + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - c o s φ s i n φ d φ + \int_{π}^{\frac{3 π}{2}} c o s φ s i n φ d φ + \int_{\frac{3 π}{2}}^{2 π} - c o s φ s i n φ d φ)

Für die Bestimmung des Integrals habe ich

u = s i n φ \to \frac{d u}{d φ} = c o s φ d φ = \frac{d u}{c o s φ}

substituiert.

Aus den einzelnen Integralen erhalte ich:
(Dabei gehe ich davon aus, dass die Stammfunktionen der Integrale sich nur im Vorzeichen unterscheiden)

= \frac{s i n^{2} φ}{2}

nach einsetzen der Grenzen:

\frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2})

= \frac{1}{2}

ledum aktiv_icon

16:06 Uhr, 17.01.2020

Hallo
ich hatte dir die richtigen Polarkoordinaten für den gegebenen Kreis um(1,1) gegeben, du hast über einen Kreis um 0 integriert, bei dem wegen des Betrags die Dichte in jedem Viertel gleich ist
bei diesem Kreis ist natürlich der Schwerpunkt in der Mitte.
Gruß ledum

Timo1 aktiv_icon

16:13 Uhr, 17.01.2020

Ach! Ich habe die Verschiebung beim Rechnen total vergessen gehabt. Das bedeutet ich hätte beim umwandeln in Polarkoordinaten