Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Massenträgheitsmoment

Massenträgheitsmoment

Universität / Fachhochschule

Tags: Drehung, Massenträgheitsmoment, Spat

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Volbe

Volbe

22:51 Uhr, 22.01.2022

Antworten
Ich habe einen Spat mit den Seiten der Grundfläche a=2, b=2, die Seite c=4 und die Höhe h=15. Wie groß ist das Massenträgheitsmoment bei Drehung des Spats um den Schwerpunkt in Richtung der Kante c?

Spat_bei Rotation_um_rote_Achse

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
N8eule

N8eule

00:18 Uhr, 23.01.2022

Antworten
Hallo
Tipp1:
Wenn du uns noch verrätst, was "h" sein soll, dann könnten auch wir dies verstehen und nutzen.
Tipp2:
Es gilt Scherung. In anderen Worten, wenn du den Körper als Knetmasse verstehst, und in "Richtung der Kante c" so verformst, dass das ein Quader wird, hat sich an der Masse und deren Abstände zur Drehachse rein gar nichts verändert...

Antwort
Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:31 Uhr, 23.01.2022

Antworten
Ich mache mal zwei Angebote,

wobei das zweite wahrscheinlich das gewünschte ist.


1. Drehung um die gestrichelte Achse:

Wir nutzen den "seitlichen Versatz" (salopp gesagt)

c2-h2=16-15=1,

um die Formel 7.3 für Dreieckprofile (siehe Bild 1) anzuwenden.

J=2(112M(L2+2G12)-112M(L2+2G22))

     mit L=2,G1=32,G2=12

=M6((4+294)-(4+214)=M6(172-92)=23M

     und der Masse M=2215ρ=415ρ

=8315ρ, wobei ρ die Dichte sei.



2. Drehung um die rote Achse:

Wir "entscheren" den Quader mit ein wenig Pythagoras, Strahlensatz

und dem bei 1. berechneten "Versatz" (siehe Bild 2).

1=(1-q)2+2(q15)2+q2=32q2-2q+1

q2-116q=0q=116,

2(1-q)2+(q15)2=2(1516)2+15162=18240=12151,93649

(man kann da auch direkt 1542 rechnen, aber wozu leicht, wenn es auch schwer geht...).

Nun dürfen wir für einen "effen" Quader mit den Maßen 1215,2,4 rechnen (siehe Bild 3).

J=112M(22+(1215)2)=112M(4+154)=3148M

     mit der Masse M=121524ρ=415ρ

=153112ρ, wobei ρ die Dichte sei.







03_06_Dreieck-Profil
Zur Entscherung
03_05_Quader
Volbe

Volbe

11:51 Uhr, 23.01.2022

Antworten
Hallo Vlad,
erstmal vielen Dank für deine Antwort, das Ergebnis ist richtig, habe es mit Mathematica überprüft, muss mich aber erst mal hineindenken, ich melde mich wieder.
Antwort
Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:32 Uhr, 23.01.2022

Antworten
Hier noch ein Bildchen zu meiner (unnötig komplizierten) Berechnung von

1215 bei 2. mit einer Hilfsgröße q.

Wie bereits erwähnt kommt man aber mit kongruenten Dreiecken eleganter an den Wert...

Stütze
Volbe

Volbe

23:05 Uhr, 23.01.2022

Antworten
Ich habe es einfach über die Volumengleichheit von Parallelepiped und Quader gemacht, abh=abQc, d.h. bQ=bhc, bQ=2154, bQ=152. Ich hoffe, das geht so?
Antwort
N8eule

N8eule

23:40 Uhr, 23.01.2022

Antworten
Das sieht sehr aussichtsreich aus. Wir werden aber nur unterstützen, verstehen, bestätigen, ergänzen oder korrigieren können, wenn du deine Fülle an Andeutungen für bQ auch erklären und unmissverständlich machen kannst, vorzugsweise, naheliegenderweise durch eine ( deiner) Skizze...

Antwort
Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:01 Uhr, 24.01.2022

Antworten
Jaaaa, Volbe, das geht so, geht sogar supigut,
volley verwandelt und best Formel ever, Danke !
Volbe

Volbe

00:16 Uhr, 24.01.2022

Antworten
Ich denke, mit Vlads Hilfe habe ich sogar eine allgemeine Formel gefunden, die das Trägheitsmoment des Spats bei der Rotation um die Seite c berechnet, sie lautet Jc=m3(a2+b2h2c2).
Vielen Dank für die Hilfe, onlinemathe kann ich nur weiterempfehlen, meine Frage hat Vlad sehr gut beantwortet.
p.s. bQ ist Länge der Seite b des Quaders, h ist die Höhe des Spats, steht in der Frage!
Antwort
Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:09 Uhr, 24.01.2022

Antworten
Hm, ich hab dafür mit dem Satz von Steiner (siehe Bild)

112M(a2+(bhc)2)+M((a2)2+(bh2c)2)

=(112+14)M(a2+(bhc)2)=13M(a2+(bhc)2), yo !


Dank sollte aber vor Allem an Pendragon302

vom Matheplaneten gehen, der für diesen fantastischen Schrieb

über Trägheitsmomente verantwortlich ist !

matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=851&ref=https://www.google.com/&f=1&ref= www.google.com/&ff=y&rd3=1



Screenshot_20220124-010729_Gallery
Antwort
N8eule

N8eule

07:10 Uhr, 24.01.2022

Antworten
Nur zum Verständnis:
Ein Spat hat drei Höhen. Denn das ist die Definition eines Spats: Die gegenüberliegenden Flächen sind stets parallel zueinander.

Und
"b_Q = b*h/c"
und
"b_Q ist die Länge der Seite b des Quaders"
steht zunächst ein wenig im Widerspruch.
Ich ahne wohl, was du meinst. Aus der Ahnung könnte und sollte aber unmissverständlichere Verständigung werden, wenn Begriffe nicht nur wild auf guten Willen hoffend unerklärt rein geschmissen werden, sondern typischerweise, wenn man eh schon eine Skizze hat, dort auch unmissverständlich aufgezeigt werden.