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Mathe-Abituraufgabe 2005

Schüler

Tags: Flächeninhalt, Funktion, MATH, Mathematik

moetmo aktiv_icon

17:28 Uhr, 06.01.2020

Ich bin seit Stunden am verzweifeln und habe keinen Lösungsansatz... Wäre eich dankbar, wenn ihr mir Tipps geben könntet

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

19:08 Uhr, 06.01.2020

Hallo,

Du hast ein Koordinatensystem mit einer Parabel 2-ten Grades, deren Nullstellen Du kennst. Zusätzlich kennst Du die Anstiege der Parabel in den Nullstellen. Damit ermittelst Du die Funktionsgleichung

f (x) = a \cdot x^{2} + c

der Parabel. Das Rechteck hat die Fläche

(2 \cdot x) \cdot f (x)

mit positivem

x

und diese Fläche ist maximal, also muss gelten:

\frac{d 2 \cdot x \cdot f (x)}{d x} = 0

2 \cdot x \cdot f' (x) + 2 \cdot f (x) = 0

x \cdot f' (x) + f (x) = 0

x \cdot 2 \cdot a \cdot x + a \cdot x^{2} + c = 0

3 \cdot a \cdot x^{2} + c = 0

x^{2} = - \frac{c}{3 \cdot a}

x = \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}}

da nur die positive Lösung interessant ist.

Die Fläche des Rechtecks ist demzufolge:

2 \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}} \cdot (a \cdot {(\sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}})}^{2} + c)

= 2 \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}} \cdot (a \cdot (- \frac{c}{3 \cdot a}) + c)

= 2 \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}} \cdot (- \frac{c}{3} + c)

= 2 \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}} \cdot \frac{2}{3} \cdot c

= \frac{4}{3} \cdot c \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}}

Die einseitige Fläche berechnet sich als:

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9,5 - \int_{- 5}^{5} a \cdot x^{2} + c d x + \frac{4}{3} \cdot c \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}}

= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9,5 - {[\frac{a}{3} \cdot x^{3} + c \cdot x]}_{x = - 5}^{x = 5} + \frac{4}{3} \cdot c \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}}

= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9,5 - [\frac{a}{3} \cdot 5^{3} + c \cdot 5] + [\frac{a}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + c \cdot (- 5)] + \frac{4}{3} \cdot c \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}}

= 5 \cdot 9,5 - \frac{125}{3} \cdot a - 5 \cdot c - \frac{125}{3} \cdot a - 5 \cdot c + \frac{4}{3} \cdot c \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}}

= 47,5 - \frac{250}{3} \cdot a - 10 \cdot c + \frac{4}{3} \cdot c \cdot \sqrt{- \frac{c}{3 \cdot a}}

Atlantik aktiv_icon

10:39 Uhr, 08.01.2020

Alternativer Weg:

Parabelgleichung:

f (x) = a (x + 5) \cdot (x - 5) = a x^{2} - 25 a

S (0 | 9,5)

f (0) = - 25 a

- 25 a = 9,5 \to a = - 0,38

f (x) = - 0,38 x^{2} + 9,5

f

(x) = - 0,76 x

f

(5) = - 0,76 \cdot 5 = - 3,8

Tangente:

\frac{y - 0}{x - 5} = - 3,8

y = - 3,8 x + 19

y_{0} = 19

Fläche des Dreiecks:

\frac{19 \cdot 10}{2} = 95

Fläche unter der Parabel:

A = 2 \cdot \int_{0}^{5} (- 0,38 x^{2} + 9,5) \cdot d x = 2 \cdot {[- \frac{0,38}{3} x^{3} + 9,5 x]}_{0}^{5} = 63, \bar{3}

maximales Rechteck unter der Parabel:

A = 2 u \cdot (- 0,38 u^{2} + 9,5) = - 0,76 u^{3} + 19 u

A ´

= - 2,28 u^{2} + 19

- 2,28 u^{2} + 19 = 0

u = 2,88675

A = - 0,76 \cdot {2,88675}^{3} + 19 \cdot 2,88675 \approx 36,56

Gesamtfläche

: 95 - 63, \bar{3} + 36,56 = 68,26

mfG

Atlantik

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