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Tags: Geschichte, Multiplikation

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19:29 Uhr, 01.01.2015

Aufgabe 2

a) (12 P)

Bestimmen Sie das Produkt

(12, 34, 56) 60

(11, 22; 33) 60

mit einer Gittermultiplikation.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Umrechnung der Faktoren ins Zehnersystem, Multiplikation im Zehnersystem (TR erlaubt) und erneute Umrechnung ins Sechzigersystem.

b) (8 P)

Die Babylonier dividierten, indem sie mit dem Kehrwert des Divisors multiplizierten:
Aus

a : n

wird

a x \frac{1}{n}

So wird

z . B

. aus

54

∶

15

54

⋅

0; 4 = 3; 16

Die Werte fur

\frac{1}{n}

entnahmen sie sogenannten Reziprokentabellen. Die hauptsächlich
verwendete Form enthielt

30

Zahlenpaare bestehend aus dem Wert

n

und dem dazugehörenden
Wert 1

Tabelle im Anhang

Die Zahlen in der Tabelle sind sexagesimal angegeben. Gemäß der babylonischen
Zahlendarstellung fehlt die Zahl 0. So gilt bspw. für

n = 1, 20,

dass

\frac{1}{n} = 0; 0, 45

.
Ergänzen Sie die Tabelle um die fehlenden Zahlen. Hinweis für die Bestimmung von

n :

Überlegen Sie sich, wie Sie bspw. im Dezimalsystem für

\frac{1}{n} = 0,2

die Rechnung

n = 1 : 0, 2

ausführen, und Übertragen Sie Ihr Vorgehen in das Sexagesimalsystem.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Multiplikation und Division von Brüchen

pleindespoir aktiv_icon

19:53 Uhr, 01.01.2015

Verstehst du,was mit

G i t t e r m u l t i p l i k a t i o n

gemeint ist ?

abakus

19:58 Uhr, 01.01.2015

Schön, dass einem das Forum automatisch auch das noch abnimmt:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Klingt wie eine Worthülse für: "Mal sehen, wer mir das löst."

Ansonsten: Schön, dass du interessante Aufgaben zitierst. Was ist dein konkretes Anliegen?
Was ist dein Vorwissen, und wo klemmt es?
Was ist Gittermultiplikation? Ich weiß es nicht, traue mir aber zu, es innerhalb einer Viertelstunde ausreichend zu recherchieren. Aber dann lasse ich es, denn es wäre zuallererst dein Job.

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21:56 Uhr, 01.01.2015

Vielen Dank schon einmal für die Mühe das durch zu lesen.

Vorweg ich habe den Text nicht Korrektur gelesen wodurch ich nicht mitbekommen habe das meine eigene Idee und die Frage fehlt.

@Gast Trotz dessen würde ich dich bitten deine provokante Kommentare einfach zu unterlassen.

@pleindespoir Die Gittermultiplikation ist mir soweit bekannt. Problem kommt dann wenn ich den weiteren Teil bearbeiten möchte Umrechnung ins Zehner sowie Sechziger oder dann bei

\frac{1}{n}

in das sexagesimal System sind mir nicht geläufig.

abakus

22:35 Uhr, 01.01.2015

Hallo,
(12,34,56)60 bedeutet

12 * 6 0^{2} + 34 * 6 0^{1} + 56

.
Das wäre also die Umrechnung aus den Sechziger- ins Zehnersystem.
Das Semikolon scheint mir das zu sein, was in unserem Zehnersystem ein Komma ist, denn nur so lässt sich (0;4) (zur Basis 60) als 1/15 interpretieren ( Null Einer und 4 Sechzigstel).
Wenn diese Interpretation stimmt, dann wäre (11,22;33)60 das gleiche wie in unserem System
11*60+22+(33/60).
Du kannst also deine Gittermultiplikation im 60-er-System durchführen und dein Ergebnis ins Zehnersystem umwandeln.
Zur Kontrolle: Herauskommen muss das Ergebnis von

(12 * 6 0^{2} + 34 * 6 0^{1} + 56) \cdot (11 * 60 + 22 + (33 / 60))

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12:08 Uhr, 03.01.2015

Hallo, anscheinend stehe ich hier total auf dem Schlauch.
Soweit ich das verstehe muss ich

(12,34,56) 60 x (11,22; 33) 60

im Sechsersystem per Gittermultiplikation berechnen.

Die Gittermultiplikation ist soweit kein Problem wenn ich Faktor

x

Faktor = Podukt habe.
In diesem Beispiel scheitert es aber schon daran aus dem

(12,34,56) 60

einen geeigneten Faktor herzuleiten. Das von Gast62 geschriebene

12 x 60^{2} + 34 x 60^{1} + 56

ist ja die Schreibweise im Zehnersystem und nicht im Sechsersystem.

Wie bekomme ich also aus

(12,34,56) 60

eine Zahl für das Sechsersystem?
Oder habe ich hier schon den völlig falschen Ansatz?

pleindespoir aktiv_icon

12:52 Uhr, 03.01.2015

ist ja die Schreibweise im Zehnersystem und nicht im Sechsersystem.
Es handelt sich um das Sechzigersystem. Die Werte der Stellen:

6 0^{2}; 6 0^{1}; 6 0^{0}

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14:02 Uhr, 03.01.2015

Ich habe mich da verschrieben es ist das Sechzigersystem.

Allerdings finde ich einfach nicht den Zugang wie ich aus dieser Schreibweise

(12,34,56) 60

einen Faktor schreiben soll mit dem ich in der Gittermultiplikation arbeiten kann.

Was nützt es mir wenn ich

12 \cdot 60^{2} + 34 \cdot 60^{1} + 54

schreibe? da kommt doch eine Lösung im Zehnersystem raus.
Vielleicht kann ich mich gerade schlecht ausdrücken aber ich habe einfach keine Ahnung wie ich aus dieser Schreibweise auf eine Zahl kommen soll mit der ich die Gittermultiplikation durchrechnen kann.

12 \cdot 60^{2} + 34 \cdot 60^{1} + 54

43200 + 2040 + 54 = 45294

Das wäre praktisch doch der erste Faktor

11 \cdot 60 + 22 + \frac{33}{60}

660 + 22 + \frac{33}{60} = 682 \frac{11}{20}

Das der zweite Faktor. Also

45294 \cdot 682 \frac{11}{20},

aber leider ist dies ja nur das Zehnersystem und ich muss im Sechzigersystem rechnen.
Versteht ihr wo mein Problem ist?

Ich weiss einfach nicht wie ich

(12,34,56) 60

im Sechzigersystem schreiben soll.

abakus

14:26 Uhr, 03.01.2015

"Ich weiss einfach nicht wie ich (12,34,56)60 im Sechzigersystem schreiben soll."

Das IST die Schreibweise für das 60-er-System. Da wir nun mal nur Ziffern 0 bis 9 kennen, geht das nicht anderes.
Im 16-er System behilft man sich noch damit, dass man die fehlenden Ziffern für 10 bis 15 mit A bis F beschreibt.
Für das Sechzigersystem haben wir einfach zu wenige Buchstaben.

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14:55 Uhr, 03.01.2015

Das habe ich dann jetzt verstanden.
Ich kann aber nicht mit diesen beiden Ausdrücken multiplizieren. Wie soll das funktionieren?

ich schreibe bei der Gittermultiplikation einen Faktor waagerecht und den zweiten Senkrecht.

Sieht es dann so aus?

(12,34,56) 60

... ... ... ... ... ... . . 11,

... ... ... ... ... ... . . 22;

... ... ... ... ... ... . . 33

... ... ... ... ... ... . . 60

Ich kann doch dann nicht einfach

12 \cdot 11

rechnen und das dazu schreiben. Also da gehe ich zumindest von aus.

Ich stelle mich vielleicht total blöd an, aber ich muss diese Aufgabe richtig abgeben und das ohne Besprechung des Themas. Wir haben zu keinem Zeitpunkt die Gittermultiplikation mit Zahlen aus dem Sechzigersystem besprochen oder ein Beispiel gerechnet.
Die Gittermultiplikation im Zehnersystem ist ja keine große Problematik aber hier im Sechziger habe ich einfach keine Ahnung von dem ganzen.

abakus

15:02 Uhr, 03.01.2015

"Ich kann doch dann nicht einfach 12⋅11 rechnen und das dazu schreiben."
Hier ist Kopfrechnen gefragt.
12*11=132, das ist im Sechzigersystem (2,12)60.

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15:55 Uhr, 03.01.2015

Ich glaube ich habe es schon etwas verstanden.

Wenn ich nun mein Gitter aufmale und die Zahlen dort rein schreibe habe ich eine Spalte für die

12

eine für die

34

und eine für die

56

richtig?
In meinen Zeilen habe ich dann einmal

11,

einmal

22

und einmal die

33

.

Jetzt rechne ich

11 \cdot 12

und habe

(2,16) 60

schreibe ich denn die 2 über den Diagonalen Strich für "Sechziger" und unter dem Diagonalen Strich die

16

für "Einer" ?

Beim Addieren der Diagonalen Spalten rechne ich immer bis

60

voll und schreibe den Übertrag in die nächst höhere Diagonale.

So gesehen gibt es dann die "Einer", "Zehner", "Hunderter", "Tausender" etc.

Sollte ich dort zum Beispiel rausbekommen:

(2, 33, 14, 4, 8) 60

Kann ich das dann so verstehen: 8 "Rest" 4mal passt die

60, 14

mal die

600,

33mal die

6000

und 2mal die

60000

?

Letzte Problem ist das "Komma" also beim 2ten Faktor das Semikolon vor der

33,

wo weiss ich bei welcher Diagonalen Linie ich das Komma anbringen muss?

abakus

16:00 Uhr, 03.01.2015

(2,33,14,4,8)60 hat nichts mit 600, 6000, 60000 zu tun.
Die höheren Potenzen von 60 sind 3600, 216000, ...

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16:16 Uhr, 03.01.2015

So langsam kommt Licht ins Dunkel, Vielen Dank schon einmal für Eure Mühen.

Ich habe alles mal aufgezeichnet.
Ist das so richtig geschrieben?

Ich weiss jetzt allerdings nicht wo ich die Stelle für das Komma schreiben soll.

Entweder wird es an erster oder zweiten Stelle von Rechts gesetzet.

So dass rauskommen sollte:

(2,23,7,59; 44,48) 60

oder

(2,23,7,59,44; 48) 60

Auch die Tatsache mit den Potenzen ist logisch ich hab da einfach einen Denkfehler gehabt.

Nehmen wir einfach das Beispiel:

(2,23,7,59; 44,48) 60

Das würde mir sagen ich habe;

2 \cdot 60^{3} + 23 \cdot 60^{2} + 7 \cdot 60^{1} + 59 + \frac{44}{60} + \frac{48}{3600} \to

2 \cdot 216000 + 23 \cdot 3600 + 7 \cdot 60 + 59 + \frac{44}{60} + \frac{48}{3600} = 515279.75

(gerundet)

pleindespoir aktiv_icon

18:59 Uhr, 03.01.2015

kunstlos, aber hoffentlich nachvollziehbar:

(12, 34, 56) \times (11, 22, 33)

erste Zeile:

(12, 34, 56) \times (0, 0, 33) = (396, 1122, 1848) = (396, 1122, 30 \cdot 60 + 48) = (396, 1122 + 30, + 48)

= (396, 1152, + 48) = (396, 19 \cdot 60 + 12, + 48) = (396 + 19, 12, + 48) = (415, 12, + 48)

= (6 \cdot 60 + 55, 12, + 48) = (6, 55, 12, + 48)

rest geht genauso aber Stellenverschiebung nach links nicht versaubeuteln !

(12, 34, 56) \times (0, 22, 0)

(12, 34, 56) \times (11, 0, 0)

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15:05 Uhr, 04.01.2015

Hallo,

soweit verstehe ich das. Drei Fragen bleiben offen wo ich nicht weiss wie ich das handhaben soll:

1. Beim zweiten Faktor wird die

33

mit einem Semikolon getrennt also ohne Komma. Heisst das nicht, dass diese Zahl hinter dem Komma steht also

\frac{33}{60}

bedeutet?
2. Wie soll ich diese Schreibweise annähernd in die Schreibweise der Gittermultiplikation schreiben, so dass ich die diagonalen habe die ich dann addiere etc. Ich sehe das momentan eher in einer Darstellung wie bei der schriftlichen Multiplikation und nicht einer Gittermultiplikation.
3. Wie verschiebe ich die Stellen denn dabei? Ist bei der "mittleren" Zahl wenn ich mit der Multipliziere automatisch alles um eine Potenz höher von Beginn an und bei der vordersten alles um 2 Potenzen höher?

Anscheinend habe ich tatsächlich große Schwierigkeiten mit diesem Thema

pleindespoir aktiv_icon

17:33 Uhr, 04.01.2015

Ob das im Knastmodus oder sonstwie multipliziert wird ist Banane mit Wurscht.

Es geht genauso wie die schriftliche Multiplikation im gewohnten Zehnersystem mit Stellenverschiebung, Übertrag und was so dazugehört. Nur gehen die "Einzel"-Ziffern eben bis 59 anstelle bis 9.

Das Prinzip ist absolut gleich.

(12, 34, 56) \times (0, 22, 0) = (12, 34, 56) \times (0, 22) x (1, 0)

also "Verschiebung" der Stellen um eins nach links und eine Zeile weiter logischer weise um 2 nach links.

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19:57 Uhr, 05.01.2015

Endlich zu Hause und ich habe folgendes als Ergebnis:

(2,22,45,39,44, + 48)

(12,34,56) \cdot (0,0,33) = (6,55,12, + 48)

(12,34,56) \cdot (0,22,0) = (4,36,28,32)

(12,34,56) \cdot (11,0,0) = (2,18,2,16)

Ich habe so addiert:

... ... . (6,55,12, + 48)

+ ... (4,36,28,32)

+ . (2,18,2,16)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(2,22,45,39,44, + 48)

Kann das so passen?

Weiterhin habe ich versucht

(12,34,56)

und

(11,22; 33)

in das Zehnersystem umzurechnen scheitere aber auch dort völlig.

Ist es richtig dass:

(12,34,56) = (12 \cdot 216000 + 34 \cdot 3600 + 56 \cdot 60)

und

(11,22; 33) = (11 \cdot 3600 + 22 \cdot 60 + \frac{33}{60})

Wenn ich dann allerdings daraus die Probe rechne komme ich nicht Ansatzweise auf das richtige Ergebnis.

pleindespoir aktiv_icon

23:19 Uhr, 05.01.2015

Das Pluszeichen , das ich versehentlich nicht gelöscht habe, kopierst du brav mit durch.

Kapieren - nicht kopieren!

(12,34,56)*(0,22,0)=

Einerstelle: 0 mal irgendwas ist Null

60er: 22*56 = 1232= 20*60+32
Also 32 in die Stelle 60^1 und 20in den Übertrag zu 60^2

60^2 Stelle: 22*34=748 plus den Übertrag 20=768 = 12*60+48
Also 48 in die Stelle 60^2 und 12 in den Übertrag zu 60^3

60^3 Stelle: 22*12=264 plus Übertrag 12 = 276 = 4*60+36
Also 36 in die Stelle 60^3 und 4 in die Stelle 60^4

(12,34,56)*(0,22,0)=(4,36,48,32,0)

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00:46 Uhr, 06.01.2015

Gut das

+

habe ich kopiert weil ich nicht wissen kann ob es die richtige Schreibweise ist. Wie schon einmal erwähnt habe ich keinerlei Vorerfahrungen mit dem Rechnen im Sexagesimalen System. Auch in den vielen links konnte ich zwar keine solche Schreibweise finden, aber wenn jemand diese schreibt, wo ich von ausgehe das er besser im Thema steckt als ich übernehme ich diese natürlich. Wer weiss was ich übersehen habe denke ich mir dann.

Trotzdem ist der Ansatz richtig wenn ich die Zeilen verschoben habe. Richtig addiert habe ich doch die Zeilen. Auch wenn ich die Stellen mit 0 nicht dazu geschrieben habe.

(6,55,12,48)

(4,36,48,32,0)

(2,18,2,16,0,0)

Das sind doch dann die Ergebnisse der Rechnung von jeder Zeile. Diese muss ich doch dann addieren oder ist das wiederum falsch?

Wie kann ich dieses denn dann wieder in das Zehnersystem umschreiben um es zu Proben? Da kommen bei mir einfach total andere Werte raus wenn ich zum Beispiel so arbeite:

(6,55,12,48)

im Zehnersystem

= (6 \cdot 60^{3} + 55 \cdot 60^{2} + 12 \cdot 60^{1} + 48)

oder muss ich dann so eine Art Rechnung machen dass bei

6 \cdot 60^{3}

im Zehnersystem ja

6 \cdot 10^{3}

stehen würde?

Testweise mal: Leider geht diese Rechnung bei mir auch nicht auf.

(2,22,45,39,44,48)

2 \cdot 10^{5} + 22 \cdot 10^{4} + 45 \cdot 10^{3} + 39 \cdot 10^{2} + 44 \cdot 10^{1} + 48

200000 + 220000 + 45000 + 3900 + 440 + 48 = 469388

(12,34,56) 60

(11,22; 33) 60

(12 \cdot 10^{2} + 34 \cdot 10^{1} + 56 \cdot 10^{0}) \cdot (11 \cdot 10^{1} + 22 \cdot 10^{0} + 33 \cdot 10^{- 1})

(12000 + 340 + 56) \cdot (110 + 22 + 3,3) = 12396 \cdot 135,3 = 1677178,8

Ich würde nicht fragen wenn ich die Möglichkeit hätte die Umrechnung vom Zehner ins Sexagesimalesystem irgendwie nachvollziehen zu können. Wenn ich mir wikipedia anschaue oder die anderen Mathematiklinks finde ich keinen der mir adäquat erklären kann wie ich eine angegeben Zahl im Sexagesimalensystem in das Zehnersystem umrechnen kann.

Ich bin in der Ausbildung zum Grundschullehrer und nicht zum Diplommathematiker. Es wird sicherlich viele geben die kopfschüttelnd lesen und nicht verstehen können, dass diese Erklärungen und Hilfen nicht völlig ausreichend sind. Für mich leider nicht, ich schaue mir das alles an versuche es auch soweit nachzuvollziehen. Manche Fakten lasse ich einfach stehen weil ich es nicht besser weiss. Ich habe in die Aufgabe schon fast

10 h

Arbeitszeit gesteckt und habe immer noch nicht die leiseste Ahnung wie ich diese Sexagesimale Schreibweise ins Zehnersystem umschreiben kann. Ich verstehe, welche Bedeutung die einzelnen Stellen für das Sexagesimale System haben aber nicht wie man Sie umrechnet. Bei allen Varianten die ich durchprobiert habe ist die Probe weit weg von irgend etwas richtigem.

pleindespoir aktiv_icon

19:47 Uhr, 06.01.2015

Dein Vorschlag:
(12,34,56)⋅(11,0,0)=(2,18,2,16)

Meine Rechnung:

(12,34,56)⋅(11,0,0)=(#,#,132,374,616,0,0)= (#,#,2*60+12,6*60+14,10*60+16,0,0)= (#,2,12+6,14+10,16,0,0)= (2,18,24,16,0,0)

Ob Basis 60, oder Basis 16 oder Basis 3 oder Basis 8 oder Basis 2 oder Basis 10:

Alle Basistransformationen folgen den selben Algorithmen.

Wenn man das für eines verstanden hat, kann man das für jede beliebige Basis. Für 60 habe ich nur keine explizite Erklärung im Netz gefunden - aber wie es funktioniert kann man auch an Beispielen mit anderen Basen erlernen.

Ich habe jetzt zwei Deiner drei Multiplikationen nachgerechnet und beide waren falsch. Das könnte durchaus eine Ursache für die fehlgehende Probe sein.

Millkaa aktiv_icon

21:39 Uhr, 06.01.2015

Ich habe heute noch einmal mit meinem Professor Rücksprache gehalten. Ich darf es nicht Zeilenweise multiplizieren sondern muss es in der Gitterförmig schreiben.
Ich habe aber die Lösung fertig. Ich werde morgen ein Bild davon machen. Heute klappt es nicht mehr da ich nur noch am Tablet bin und nicht am Rechner.

pleindespoir aktiv_icon

21:56 Uhr, 06.01.2015

Wie man es hinschreibt ist doch sowas von sch...egal !

Millkaa aktiv_icon

10:24 Uhr, 07.01.2015

Um auf die richtige Lösung zu kommen ist das vielleicht egal, ABER wie ich auch in der Aufgabenstellung geschrieben habe soll ich es in Form der Gittermultiplikation schreiben. Das ist ein MUSS Kriterium.
Es geht meinem Professor nicht nur um das Lösen der Aufgabe sondern auch, dass der vorgegebene Weg genommen wird.
Ohne eine Gittermultiplikation keine vollen Punkte.

Bild kommt heute Nachmittag

ledum aktiv_icon

00:47 Uhr, 08.01.2015

Hallo
ich schick dir ein Bildchen zur Gittermultiplikation in 60er System
ich erkläre

56 \cdot 22

56 \cdot 22 = 1232 = 20 \cdot 60 + 32

also die

20

über der Diagonalen. die

32

darunter
jetzt musst du auf die Art nur den Rest ausfüllen und dann alle Diagonalen addieren, dabei jeweils wenn du

60

erreichst einen Übertrag von

1

in die nächst höhere Diagonale, genau wie im Zehnersystem, nur da überträgst du ja die Zehner, nicht die 60.er

Gruß ledum

Bildschirmfoto 2015-01-08 um 12.51.14 AM

Millkaa aktiv_icon

07:38 Uhr, 08.01.2015

Genau wie ledig geschrieben und auf dem Bild gezeigt. So wird es gemacht.

Vielen Dank an alle.

1209112

1207666

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