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Mathematische Beweise

Schüler Gymnasium,

Tags: Direkter Beweis, Fallunterscheidung, Gegenbeispiel, Indirekter Beweis, Induktionsbeweis

etlam aktiv_icon

12:29 Uhr, 22.09.2019

Ich suche nach einer einfachen Aussage, die ich anhand dreier Beweisverfahren durchdeklinieren kann (für 9. Klasse verständlich) Kann man zum Beispiel eine der folgenden Aussagen mit direktem, indirekten und einem 3. Verfahren (Fallunterscheidung, ikonisch, Vollst. Induktion, oder andere) beweisen?
- Produkt aus gerader und ungerader Zahl ist immer eine gerade Zahl oder
- Summe aus zwei ungeraden Zahlen ist immer eine gerade Zahl oder ähnliches

. .

.

Auch wenn es mathematisch natürlich nciht nötig ist, drei Beweisverfahren zu führen - hier geht es um das Veranschaulichen von drei verschiedenen Verfahren mithilfe eines Beispiels. Gibt es so etwas, dass auch Neuntklässler verstehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

NeverGiveUp5 aktiv_icon

00:21 Uhr, 23.09.2019

"Das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer eine gerade Zahl."
Vorab:

n, m \in Z

k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4} \in Z

(beliebige ganze Zahlen)

Direkter Beweis:
Eine gerade Zahl ist eine Zahl

n

der Form

n = 2 \cdot k_{1},

bzw. das Produkt einer beliebigen Zahl und 2.

z . B

k_{1} = 2, n = 4

Eine ungerade Zahl hingegen ist eine Zahl

m

der Form

m = 2 \cdot k_{2} \pm 1

(Summe einer geraden Zahl und

+ 1

oder

- 1)

z . B

k_{2} = 3, n = 7

Multiplizieren von

n

und

m

führt zu einer Zahl

p :

p = n \cdot m = 2 k_{1} \cdot (2 k_{2} + 1) = 4 k_{1} k_{2} + 2 k_{1}

Ist

p

eine gerade Zahl?

p = 2 \cdot (2 k_{1} k_{2}) + 2 \cdot (k_{1})

(Annahme: Eine Summe

S

aus zwei geraden Zahlen

n_{1}

und

n_{2}

ist ebenfalls immer gerade.
Beweis:

n_{1} = 2 \cdot k_{3}

n_{2} = 2 \cdot k_{4}

S = n_{1} + n_{2} = 2 \cdot k_{3} + 2 \cdot k_{4} = 2 \cdot (k_{3} + k_{4})

S

das Produkt einer beliebigen Zahl und 2 ist, muss die Summe aus zwei geraden Zahlen gerade sein.)

p

ist die Summe aus den Termen (Summanden)

2 \cdot (2 k_{1} k_{2})

und

2 \cdot k_{1}

. Da beide dieser Terme Produkte aus 2 und einer beliebigen Zahl sind, sind beide Terme gerade. Da beide Summanden der Summe

p

gerade sind, ist

p

gerade.

Somit: Das Produkt

p

einer geraden Zahl

n

und einer ungeraden Zahl

m

ist immer gerade.

Indirekter Beweis:
Annahme: Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer eine ungerade Zahl.

Übernahme aus "Direkter Beweis" (s.oben):

[

Eine gerade Zahl ist eine Zahl

n

der Form

n = 2 \cdot k_{1},

bzw. das Produkt einer beliebigen Zahl

[

und 2.

[z . B

k_{1} = 2, n = 4

[

Eine ungerade Zahl hingegen ist eine Zahl

m

der Form

m = 2 \cdot k_{2} + 1

(Summe einer geraden Zahl und

+ 1

oder

- 1)

[z . B

k_{2} = 3, n = 7

[

[

Multiplizieren von

n

und

m

führt zu einer Zahl

p :

[p = n \cdot m = 2 k_{1} \cdot (2 k_{2} + 1) = 4 k_{1} k_{2} + 2 k_{1}

Nach unseren Annahmen wäre

p

somit

z . B

. die Summe einer geraden Zahl und 1.

\to p - 1 = 4 k_{1} k_{2} + 2 k_{1} - 1 = p_{2}

Somit müsste:

p_{2} = 4 k_{1} k_{2} + 2 k_{1} - 1

eine gerade Zahl sein.

\to p_{2} = 2 \cdot (2 k_{1} k_{2} + k_{1} - \frac{1}{2})

In diesem Falle kommen wir zu einem Widerspruch, da der Ausdruck

2 k_{1} k_{2} + k_{1} - \frac{1}{2}

keine ganze Zahl sein kann, insofern

k_{1}

und

k_{2}

ganze Zahlen seien.

Somit muss das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl immer eine gerade Zahl sein.

NeverGiveUp5 aktiv_icon

00:48 Uhr, 23.09.2019

Vollständige Induktion (hier mit 2 Variablen):
Übernahme aus "Direkter Beweis" (s.oben):

[

Eine gerade Zahl ist eine Zahl

n

der Form

n = 2 \cdot k_{1},

bzw. das Produkt einer beliebigen Zahl

[

und 2.

[z . B

k_{1} = 2, n = 4

[

Eine ungerade Zahl hingegen ist eine Zahl

m

der Form

m = 2 \cdot k_{2} + 1

(Summe einer geraden Zahl und

+ 1

oder −1).

[z . B

k_{2} = 3, n = 7

[

[

Multiplizieren von

n

und

m

führt zu einer Zahl

p :

[p = n \cdot m = 2 k_{1} \cdot (2 k_{2} + 1) = 4 k_{1} k_{2} + 2 k_{1}

Induktionsanfang:

z . B

k_{1} = k_{2} = 0

\to 4 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 4,

ist eine gerade Zahl

(4 = 2 \cdot 2)

Schrittuntersuchung für

k_{1} + 1 :

\to 4 \cdot (k_{1} + 1) k_{2} + 2 (k_{1} + 1) = 2 \cdot (2 \cdot (k_{1} + 1) k_{2} + (k_{1} + 1))

ist eine gerade Zahl.
(Klammerinhalt ist ganze Zahl, Produkt einer ganzen Zahl und 2 ist immer gerade)

Schrittuntersuchung für

k_{2} + 1 :

\to 4 \cdot k_{1} (k_{2} + 1) + 2 k_{1} = 2 \cdot (2 \cdot k_{1} (k_{2} + 1) k_{2} + k_{1})

ist eine gerade Zahl.
(Klammerinhalt ist ganze Zahl, Produkt einer ganzen Zahl und 2 ist immer gerade)

Schrittuntersuchung für

k_{1} + 1

und

k_{2} + 1 :

\to 4 \cdot (k_{1} + 1) (k_{2} + 1) + 2 (k_{1} + 1) = 2 \cdot (2 \cdot (k_{1} + 1) (k_{2} + 1) + (k_{1} + 1))

ist eine gerade Zahl.
(Klammerinhalt ist ganze Zahl, Produkt einer ganzen Zahl und 2 ist immer gerade)

Analog lassen sich auch für Schritte in negative Richtung

(k_{1} - 1, k_{2} - 1, k_{1} - 1

und

k_{2} - 1)

oder in beide Richtungen

(k_{1} - 1

und

k_{2} + 1)

immer wahre Aussagen herstellen.

Somit ist das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl immer gerade.

etlam aktiv_icon

06:54 Uhr, 23.09.2019

Allerbesten Dank, @neverGiveup05!!!

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