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Mathematischer Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Beweisführung

Darislav aktiv_icon

16:48 Uhr, 23.11.2022

Wie soll man das beweisen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

17:08 Uhr, 23.11.2022

Hallo,

> Wie soll man das beweisen?

Das hängt so ein bisschen davon ab, was ihr kürzlich in der Vorlesung gemacht habt.

Wenn ihr die Beweismethode der vollständigen Induktion hattet, dann gerne damit.

Alternativ:
de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f%C3%BCr_die_Partialsummen

Mfg Michael

Darislav aktiv_icon

17:10 Uhr, 23.11.2022

ja wir hatten die vollständige Induktion.
Den Induktionsanfang macht man ja immer mit 1. Da ist aber die 1 ausgeschlossen.
Und ich muss dann etwas für

x

und

n

einsetzen?

michaL aktiv_icon

17:16 Uhr, 23.11.2022

Hallo,

> Den Induktionsanfang macht man ja immer mit 1.

Nein, das würde ich pauschal nicht so sehen. Man macht das immer für das kleinste Element einer induktiven Menge, für die etwas behauptet wird.
Da die von dir angegebene Formel allerdings für

n = 0

nicht gilt, darfst du wohl davon ausgehen, dass 1 der kleinste Wert ist.

> Da ist aber die 1 ausgeschlossen.
und
> Und ich muss dann etwas für x und n einsetzen?

Vielleicht schaust du dir die Sache mit der vollständigen Induktion nochmal an?!

x

soll ein Element aus

ℝ \ {1}

sein.
Das ist aber gar keine induktive Menge. Das schließt ein Einsetzen in

x

eher aus.

Mfg Michael

Darislav aktiv_icon

17:25 Uhr, 23.11.2022

ja genau, ich darf 1 für

X

nicht einsetzen, da sie ausgeschlossen ist.
Soll ich dann für den Induktionsanfang für

x = 2

und für

n = 1

einsetzen?

michaL aktiv_icon

17:34 Uhr, 23.11.2022

Hallo,

für

x

wird gar nichts eingesetzt.
Für

n

fange mit

n = 1

an.

Danach den Induktionsschritt. (Der ist meist eher das Problem.)

Mfg Michael

Darislav aktiv_icon

17:45 Uhr, 23.11.2022

D . h

.

Induktionsanfang:

n = 1

\frac{1 - x^{1 + 1}}{1 - x} = x^{1} (Σ

von

i = 0

mit

n = 1

als obere Grenze)

1 - x = x

????

michaL aktiv_icon

21:50 Uhr, 23.11.2022

Hallo,

hm, viel bringst du nicht mit, oder?

Bis hier war es noch ganz gut:

\frac{1 - x^{1 + 1}}{1 - x}

Auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens müsstest du in

\sum_{i = 0}^{n} x^{i}

auch

n = 1

einsetzen, was zu

\sum_{i = 0}^{1} x^{i}

führt. Das ist aber kompliziert geschrieben für

x^{0} + x^{1} = 1 + x

Du müsstest also prüfen, ob

\frac{1 - x^{2}}{1 - x} = 1 + x

für

x \neq 1

erfüllt ist.

Bekommst du das unfallfrei hin?

Mfg Michael

Darislav aktiv_icon

22:18 Uhr, 23.11.2022

Ich habe es bereits gelöst und verstanden. Danke dir!!!

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:15 Uhr, 24.11.2022

Beliebt bei alt und jung ist auch der in kleinen Happen:

\sum_{k = 0}^{n + 1} q^{k} = \sum_{k = 0}^{n + 1} q^{k}

\Leftrightarrow

q^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = 1 + \sum_{k = 1}^{n + 1} q^{k}

\Leftrightarrow

q^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = 1 + q \cdot \sum_{k = 1}^{n + 1} q^{k - 1}

\Leftrightarrow

q^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = 1 + q \cdot \sum_{k = 0}^{n} q^{k}

\Leftrightarrow

(1 - q) \cdot \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = 1 - q^{n + 1}

\Leftrightarrow

\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

michaL aktiv_icon

11:13 Uhr, 24.11.2022

Hallo,

oder ohne Summenschreibweise und optisch vielleicht eingängiger:

x = 1 + q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n - 1} + q^{n} ∣ \cdot q

q x = q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n - 1} + q^{n} + q^{n + 1}

-------------------------------------------------------------------------

x - q x = 1 - q^{n + 1}

(1 - q) x = 1 - q^{n + 1} \Rightarrow x = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

Mfg Michael

PS: Hoffentlich bleibt die Formatierung erhalten...

Kartoffelchipsman aktiv_icon

12:47 Uhr, 24.11.2022

Ja, so hab ich die auch vor Jahrzehnten
als eines meiner ersten Formelabenteuer kennengelernt.
Das war wie die erste Mondlandung damals,
eine Formel für Partialsummen von Potenzen !

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