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Tags: Matrixmultiplikation

couman990 aktiv_icon

19:06 Uhr, 10.12.2018

Hallo zusammen,

gegeben ist die Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ - 2 & 3 \end{matrix})

Zunächst soll man eine Matrix

B

bestimmen, dass gelt

B \cdot A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

.

Hierfür stelle ich die Gleichungssysteme auf:

1 : a + 2 b - 2 c = 1

2 : 0 a + 1 b + 3 c = 0

\to b = - 3 c

\to a = 8 c + 1

\to x = (\begin{matrix} 8 c + 1 \\ - 3 c \\ c \end{matrix})

3 : 1 d + 2 e - 2 f = 0

4 : 0 d + 1 e + 3 f = 1

\to e = - 3 f + 1

\to d = 8 f - 2

\to x = (\begin{matrix} 8 f - 2 \\ - 3 f + 1 \\ f \end{matrix})

\to B = (\begin{matrix} 8 c + 1 & - 3 c & c \\ 8 f - 2 & - 3 f + 1 & f \end{matrix})

Bis hierhin müsste ich richtig gerechnet haben oder?

Nun soll noch das Produkt AB berechnet werden und untersucht werden ob dieses gleich

E 3

ist

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ - 2 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 c + 1 & - 3 c & c \\ 8 f - 2 & - 3 f + 1 & f \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

(soll untersucht werden)

Für

A \cdot B

erhalte ich :

A \cdot B = (\begin{matrix} 8 c + 1 & - 3 c & + c \\ 16 c + 8 f & - 6 c - 3 f + 1 & 2 c + f \\ - 16 c + 24 f - 8 & 6 c - 9 f + 3 & - 2 c + 3 f \end{matrix})

Ist das soweit richtig ?
Mir erschließt sich nicht ganz, wie ich jetzt weiter machen soll. Augenscheinlich wäre das ja nicht

E 3

oder übersehe ich etwas wichtiges?
Danke im Voraus

ledum aktiv_icon

19:55 Uhr, 10.12.2018

Hallo
du hast soweit ich nachgerechnet habe richtig gerechnet, da

c

und

f

beliebig sind kannst du sie jetzt möglichst einfach wählen . also

z . B - 0

oder auch 1 dann hast du eine sehr einfache Matrix

B

und kannst die überprüfen.
Dein

A \cdot B

habe ich nicht überprüft!
Gruß ledum

couman990 aktiv_icon

20:17 Uhr, 10.12.2018

danke!
Der zweite Teil der Aufgabe besteht ja darin, zu überprüfen, ob

A \cdot B = E 3

Also darf ich ja zunächst erstmal keine Werte für meine zwei Parameter einsetzen.
Ich gehe nun davon aus dass

A \cdot B

nicht

E 3

entspricht.

A⋅B=

(\begin{matrix} 8 c + 1 & - 3 c & c \\ 16 c + 8 f & - 6 c - 3 f + 1 & 2 c + f \\ - 16 c + 24 f - 8 & 6 c - 9 f + 3 & - 2 c + 3 f \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

(Wenn ich mich nicht verrechnet habe

!)

Wenn man sowohl für

c

als auch

f

die 0 einsetzt ( da ja a von

E 3 = 1),

dann erhält man aber trotzdem nicht

E 3

oder hab ich einen Denkfehler bei der Berechnung.

HAL9000

14:44 Uhr, 11.12.2018

Ein Tipp, um solche exzessiven Rechnungen zu vermeiden:

Liegt eine

m \times n

-Matrix

A

mit

m > n

vor in der Gestalt

A = (\begin{array}{c} Q \\ R \end{array})

mit einer regulären (!)

n \times n

-Matrix

Q

sowie der

(m - n) \times n

-"Restmatrix"

R

, dann kann man als

n \times m

-Matrix

B

, welche die Eigenschaft

B \cdot A = I_{n}

haben soll, einfach

B = (Q^{- 1} 0)

wählen, die Nullmatrix rechts hat dabei die Dimension

n \times (m - n)

. Im vorliegenden Fall

m = 3, n = 2

würde diese Wahl zu

B = (\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array})

führen. Du sollst ja schließlich nicht alle solche Matrizen

B

ermitteln, es genügt eine.

Eigenschaft

A \cdot B = I_{m}

kann im Fall

m > n

nie gelten, ganz egal wie man

B

wählt:

A

und

B

, und damit auch deren Produkt besitzen maximal den Rang

n

, während

I_{m}

den größeren Rang

m

hat.

couman990 aktiv_icon

15:45 Uhr, 11.12.2018

Ok danke, ich verstehe das noch nicht ganz. Grundsätzlich sollte man die Aufgabe allgemein berechnen, deshalb die recht komplizierte Herangehensweise. Bedeutet der letzte Teil, dass also

A \cdot B \neq E 3

(Mit IM ist die Einheitsmatrix gemeint oder )?

HAL9000

15:57 Uhr, 11.12.2018

Deine Formulierung oben war "Zunächst soll man eine Matrix B bestimmen, dass..." statt "Zunächst soll man alle Matrizen B bestimmen, dass...". Das habe ich wörtlich genommen.

Und der letzte Teil bedeutet, was ich geschrieben habe: Im Fall

m > n

(der ist bei dir mit

m = 3, n = 2

zutreffend) ist

A \cdot B = I_{m}

von keinem

B

erreichbar.

couman990 aktiv_icon

18:19 Uhr, 11.12.2018

Danke !

Mich hatte nur etwas verwirrt, warum so etwas dann überhaupt gefragt wird, weil normalerweise ist es ja dann oftmals zutreffend, wenn schon explizit ein Sachverhalt untersucht werden soll.

ledum aktiv_icon

15:54 Uhr, 12.12.2018

Hallo
die meisten Fragen die hier gestellt werden und mit "man soll" anfangen sind ungenau gestellt, oft eine falsche oder teils falsche Interpretation der Aufgabe, es ist also immer besser die Aufgabe wörtlich zu zitieren, steht da jetzt denn wirklich alle

B

oder ein

B

oder was? Ist das wirklich ne Aufgabe aus der Schule ?
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

15:54 Uhr, 12.12.2018

B

oder ein

B

oder was? Ist das wirklich ne Aufgabe aus der Schule ?
Gruß ledum

couman990 aktiv_icon

16:38 Uhr, 12.12.2018

Es ist in der Aufgabe eine konkrete Lösung gefordert. Als hinweis ist aber angegeben, dass man es allgemein mit

a b c d e f

berechnen soll ( im Hinblick auf AB=E3 ?), sprich

B

soll anhand

B \cdot A = E 3

soll zunächst allgemein berechnet werden. Dann soll das Produkt

A \cdot B

berechnet werden und überprüft werden ob dies gleich

E 3

ist.

ledum aktiv_icon

23:21 Uhr, 12.12.2018

Hallo
das gilt nur für den Anfang. jetzt weisst du dass du

c, f

frei wählen kannst also tu das möglichst einfach!
in deinem AB scheint ein Fehler zu sein denn es gibt kein

c, f

so dass das

E 3

ergibt.

Gruß ledum

couman990 aktiv_icon

18:18 Uhr, 13.12.2018

ok danke.
nein bei mir ergibt AB auch nicht

E 3,

habe es wahrscheinlich oben falsch dargestellt. Man würde verschiedene Werte für

c

und

f

erhalten, was natürlich heißt, dass

A \cdot B

nicht

E 3

ergibt.

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