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Matrix-Darstellung rechnerisch bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Darstellung, Linear Abbildung, Matrix

mod32 aktiv_icon

20:56 Uhr, 20.01.2019

Hallo zusammen,

habe hier eine LinA-Aufgabe, bei der mich glaube ich nur die Formulierung stört.
Folgende Aufgabe:

Es sei

V 1 = V 2 =

R³, die lin

A

φ : V 1 \to V 2

sei definiert durch:

φ ((3,2,3) t) = (2,3,6) t

φ ((- 1,1,3) t) = (0,3,4) t

φ ((1,0,1) t) = (- 4,3,8) t

Hierbei bilden die Vektoren (gemeint sind jeweils die in den ersten Klammern genannten) eine Basis

B

des R³.

Bestimmen Sie rechnerisch die Matrix-Darstellung von

φ

für den Fall, dass sowohl für

V 1,

also auch für

V 2

die Basis

B

zugrunde gelegt wird.

Für mich neu ist diese Schreibweise, dass "hinter

φ

ein Vektor steht", was genau ist damit gemeint?
Glaube, sobald ich das weiß kann ich mit der Aufgabe auch mehr anfangen.

Es gibt noch eine zweite Aufgabe:

φ

ist gegeben wie bereits von oben bekannt. Die Basis

B

ergibt sich ebenfalls wieder wie oben.
Frage:

Welche Matrix-Darstellung hat

φ

wenn für

V 1

die Standard-Basis und für

V 2

die Basis

B

gewählt wird?

Wie ein Basis-Wechsel funktioniert ist mir klar, ich hapere eher wieder daran, dass mir die obige Schreibweise nicht geläufig ist.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

pwmeyer aktiv_icon

10:37 Uhr, 21.01.2019

Hallo,

ich weiß nicht genau, was Du fragst.

φ : V_{1} \to V_{2}

ist eine Abbildung. Also wird jedem

x \in V_{1}

ein

y \in V_{2}

zugeordnet und das schreibt man eben so:

φ (x) = y

.

Gruß pwm

mod32 aktiv_icon

11:34 Uhr, 21.01.2019

Guten Morgen!

Ich kannte es bisher nur so, dass man schreibt:

φ = (x, y, z) t =

MATRIX

also ich weiß nicht, wie ich die gegebene Schreibweise interpretieren soll.

pwmeyer aktiv_icon

17:57 Uhr, 21.01.2019

Vielleicht kannst Du mal ein Original von Deiner Schreibweise posten.

Gruß pwm

mod32 aktiv_icon

20:05 Uhr, 21.01.2019

Hätte ich schon eher machen sollen, danke für deinen Hinweis!

Linkes Bild: Schreibweise, wie ich sie kenne.
Rechtes Bild: Ähnliche Aufgabe wie oben beschrieben.

Beim linken Bild ist mir klar (man könnte ja auch eine reine Koeffizienten-Matrix schreiben), wie die Abbildung zu interpretieren ist.

Beim rechten Bild verstehe ich nicht, was genau gemeint ist.
Nehme ich nun die Vektoren ("das hinterm Gleichheitszeichen") und baue daraus die Matrix?
Also:

20 - 4

333

648

pwmeyer aktiv_icon

11:52 Uhr, 22.01.2019

Hallo,

diese Schreibweise habe ich noch nie gesehen (ich habe

40

Jahre als Mathematiker gearbeitet)

Also gesucht ist eine 3-3-Matrix, so dass

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) =_{d f} A \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

Dabei muss A so bestimmt werden, dass

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) =_{d f} (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{matrix})

und die weiteren Bedingungn

Also

A \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{matrix})

Ist die Aufgabe dann klar?

Jetzt ist die Frage, ob Ihr irgendetwas besprochen habt, wie man das technisch angeht.

Gruß pwm

mod32 aktiv_icon

20:02 Uhr, 22.01.2019

Hallo,

mit deiner Praxis-Erfahrung kann ich nicht mithalten ;-) aber mir ging's genauso, diese Schreibweise ist mir noch nie unter gekommen.

Tatsächlich sehe ich auch nicht, wie ich das technisch angehen muss...

pwmeyer aktiv_icon

11:47 Uhr, 23.01.2019

Hallo,

naja, dann muss man halt auf die Definition schauen, also: Was versteht man unter der Matrix-Darstellung von

φ

bezüglich vorgegebener Basen? Das muss in Eurem Skript stehen.

Gruß pwm

maxsymca

14:59 Uhr, 23.01.2019

Grundsätzlich kannst Du eine allgemeine Matrix A=

(a_{i j})

ansetzen und die Abbildung mit Urbild und Bild darstellen

A \cdot b_{i} = b_{i}^{*}

===> LGS mit 9 Variablen

(a_{i j})

und das lösen

{{a 11 = - \frac{5}{4}, a 12 = 7, a 13 = - \frac{11}{4}, a 21 = \frac{3}{4}, a 22 = - 3, a 23 = \frac{9}{4}, a 31 = \frac{11}{4}, a 32 = - 9, a 33 = \frac{21}{4}}}

mod32 aktiv_icon

17:52 Uhr, 23.01.2019

Hallo Leute,

schonmal danke für euren Input!
Komme leider erst morgen/übermorgen dazu, es mir genauer anzusehen.
Ich werde mich dann noch einmal melden.

DerDepp aktiv_icon

05:00 Uhr, 25.01.2019

Hossa :-)

(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) = 1 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array}) = 1 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

(\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 8 \end{array}) = 0 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

\Rightarrow φ_{B} = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & - 2 & - 1 \end{array})

mod32 aktiv_icon

22:30 Uhr, 25.01.2019

Nabend Leute ;-)

Bin leider immer noch nicht dazu gekommen, es mir mal in Ruhe anzusehen, entschuldigt!

DerDepp, wie bist du darauf gekommen? Einfach durch Ausprobieren?

mod32 aktiv_icon

13:40 Uhr, 31.01.2019

Moin!

So... entschuldigt, ich hatte die letzte Woche über viel zu tun.

Also nochmal: DerDepp, deine Lösung leuchtet mir ein, aber bist du darauf einfach durch Ausprobieren gekommen?
Also hast du einfach versucht, die entsprechenden Linearkombinationen zu erzeugen?