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Matrix (Drehung, Spiegelung)
Sonstiges
Tags: Drehachse, Lineares Gleichungssystem, Matrix, Spiegelungsebene
 
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ich soll ausrechen, für welchen wert a die matrix 1/3 -2/3 2a/3 -2/3 1/3 2a/3 2/3 2/3 a/3 A) eine drehung, B) eine Spiegelung beschreibt. dann soll ich noch für dieses a die Drehachse bzw. Spiegelungsebene berechenen. dringend hilfe bitte. danke |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Lineare Gleichungssysteme Matrizen - Determinante und inverse Matrix Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren |
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Hallo, Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit Determinante 1 und Spiegelmatrizen sind orthogonale Matrizen mit Determinante -1. Das ist zur Berechnung von den beiden a alles, was man braucht. Determinante: 1/3*1/3*a/3 + (-2/3)*2a/3*2/3 + 2a/3*(-2/3)*2/3 - 2/3*1/3*2a/3 - (-2/3)*(-2/3)*a/3 - 1/3*2/3*2a/3 = a/27 - 8a/27 - 8a/27 - 4a/27 - 4a/27 - 4a/27 = -27a/27 = -a Damit kann es eine Drehmatrix nur für a=-1 und eine Spiegelungsmatrix nur für a=1 sein. Das ergibt die folgenden Matrizen: Drehung: 1/3 -2/3 -2/3 -2/3 1/3 -2/3 2/3 2/3 -1/3 Spiegelung: 1/3 -2/3 2/3 -2/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 Die Eigenschaft der Orthogonalität zu überprüfen schenke ich mir hier einfach. Man muß nur die Matrix mit ihrer transponierten multiplizieren und die Einheitsmatrix erhalten. Jetzt fehlen noch die Drehachse und die Spiegelungsebene. Die Punkte der Drehachse und die der Spiegelungsebene haben eine besondere Eigenschaft: Punkt und Bildpunkt sind identisch! Die Punkte (mit den Koordinaten x_1, x_2 und x_3) von Drehachse bzw. Spiegelungsebene erfüllen mit ihren Koordinaten also bestimmte Gleichungssysteme. Drehachse: 1/3*x_1 - 2/3*x_2 - 2/3*x_3 = x_1 -2/3*x_1 + 1/3*x_2 - 2/3*x_3 = x_2 2/3*x_1 + 2/3*x_2 - 1/3*x_3 = x_3 -2/3*x_1 - 2/3*x_2 - 2/3*x_3 = 0 -2/3*x_1 - 2/3*x_2 - 2/3*x_3 = 0 ; identisch zur ersten Gleichung, kann also weggelassen werden 2/3*x_1 + 2/3*x_2 - 4/3*x_3 = 0 -2*x_1 - 2*x_2 - 2*x_3 = 0 2*x_1 + 2*x_2 - 4*x_3 = 0 ; diese Zeile zur ersten Zeile addieren 0*x_1 - 0*x_2 - 6*x_3 = 0 2*x_1 + 2*x_2 - 4*x_3 = 0 -6*x_3 = 0 | /(-6) 2*x_1 + 2*x_2 - 4*x_3 = 0 ; für x_3 dann gleich das Ergebnis der ersten Gleichung einsetzen x_3 = 0 2*x_1 + 2*x_2 = 0 | /2 x_3 = 0 x_1 + x_2 = 0 Damit wäre eigentlich die Drehachse ermittelt. Es handelt sich um die Punkte, die dieses Gleichungssystem erfüllen. Da hier aber nicht der genaue Aufgabentext steht, ermittle ich noch eine Parameterdarstellung: g: t*(1 ; -1 ; 0) Spiegelungsebene: 1/3*x_1 - 2/3*x_2 + 2/3*x_3 = x_1 -2/3*x_1 + 1/3*x_2 + 2/3*x_3 = x_2 2/3*x_1 + 2/3*x_2 + 1/3*x_3 = x_3 -2/3*x_1 - 2/3*x_2 + 2/3*x_3 = 0 -2/3*x_1 - 2/3*x_2 + 2/3*x_3 = 0 ; identisch zur ersten Gleichung, kann also weggelassen werden 2/3*x_1 + 2/3*x_2 - 2/3*x_3 = 0 ; negativ zur ersten Gleichung, kann also weggelassen werden -2/3*x_1 - 2/3*x_2 + 2/3*x_3 = 0 | *(-3/2) x_1 + x_2 - x_3 = 0 Damit wäre eigentlich die Spiegelungsebene ermittelt. Es handelt sich um die Punkte, die diese Gleichung erfüllen. Da hier aber nicht der genaue Aufgabentext steht, ermittle ich noch eine Parameterdarstellung: e: t*(1 ; 0 ; 1) + s*(0 ; 1 ; 1) |
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