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Matrix Eigenwerte

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Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung

 
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gogoman

gogoman

20:01 Uhr, 19.10.2019

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Bei der folgenden Aufgabe ist M+=M und die Spur der Matrix ist 0.
Der Imaginärteil der Eigenwerte ist 0.

Meine Frage ist ob und wie man es aus den vorigen Angaben wissen können, dass die Eigenwerte reel sind .
Eine andere Frage ist. Warum verschwindet das Skalarprodukt zwischen den Eigenvektoren nicht . Ich dachte die Eigenvektoren müssen für unterschiedliche Eigenwerte orthogonal zueinander sein.
Danke.

matrix

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michaL

michaL aktiv_icon

20:52 Uhr, 19.10.2019

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Hallo,

mit anderen Worten: Die Matrix M ist hermitesch.
Ist 〈⋅;⋅〉 das Standardskalarprodukt (sesquilinear, hermitesch, positiv definit), λ ein Eigenwert von M und x ein zugehöriger Eigenvektor, so gilt: λ〈x;x〉=〈x;λx〉=〈x;Mx〉=〈Mx;x〉=〈λx;x〉=λ‾〈x;x〉, d.h. λ‾=λ. MaW: λ ist reell.

> Warum verschwindet das Skalarprodukt zwischen den Eigenvektoren nicht

Kannst du uns mal die Berechnung des Skalarproduktes zeigen? Ich fürchte, dass da was schief gelaufen sein könnte.
Denn: Natürlich sind die Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten einer hermiteschen Matrix orthogonal.

Mfg Michael
Frage beantwortet
gogoman

gogoman

10:11 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Ich habe es. Mein Fehler war es, dass ich den ersten Vektor nicht komplex konjugiert habe.
Danke