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Matrix-Exponentialfunktion

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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17:47 Uhr, 03.02.2011

Aufgabe : Bilddatei.
Ich brauche Hilfe!!!!
liege bei 48% und muss noch mein letztes übungszettel abgeben, bekomme sonst die klusurzulassung nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:31 Uhr, 03.02.2011

Hallo,

hast du die Tipps befolgt? Die sind ja recht detailliert.

Mfg Michael

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18:37 Uhr, 03.02.2011

Vielen dank für deine Hilfe , es ist so , ich brauche jemanden der mir erklären kann, wie ich vorgehen soll.

.Ich weiß nicht, wie ich eine Matrix auf eine Exponentialfunktion anwenden kann.habe sowas vorher noch nie gemacht :(

michaL aktiv_icon

18:45 Uhr, 03.02.2011

Hallo,

ok, also den zweiten Schritt vor dem ersten, von mir aus.

Eine gute Darstellung findet sich gleich zu Beginn in de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential

Dort kannst du nachlesen, wie man die Exponentialfunktion auf eine quadratische Matrix anwendet. Sicher ist das auch bei euch in der Vorlesung dran gewesen.

Mfg Michael

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19:18 Uhr, 03.02.2011

Hallo , und danke für deine Antwort.

Ich komme wirklich nicht weiter.

Kannst du bitte vieleicht eine Aufgabe vorrechnen , dann versuche ich es bei den anderen selbst.

Lg.

Nadia.

michaL aktiv_icon

19:25 Uhr, 03.02.2011

Hallo,

ja, können tu ich, wollen aber nicht. Ich fürchte, es gibt nicht viele Alternativen, gerade wenn es eng ist. Du strengst dich mächtig an (dann bekommst du von mir jede Unterstützung), du wartest, bis dir ein anderer hilft (gibt immer solche - die wundern sich dann nachher, dass ihnen jemand weniger qualifizierterer den Job wegschnappt) oder du gibst auf.

Ich helfe dir gern nochmal beim Verstehen des Wikipedia-Artikels, da steht ganz am Anfang, wie man die Exponentialfunktion auf eine quadratische Matrix loslässt. Da ist nicht viel dahinter, man wendet die Potenzreihe der Exponentialfunktion an. Kennst du die? (Steht im Artikel gleich am Anfang!)

Schreib doch, was du verstanden oder eben auch nicht verstanden hast...

Mfg Michael

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20:04 Uhr, 03.02.2011

Deine Einstellung finde ich toll.
Ok , ich versuch das jetzt.

Was ich verstanden habe ist folgendes
1. Das Exponential von X für nxn M ist definiert

e^{x} = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{X^{k}}{k!}

Also konvegiert die Reihe gegen eine Matrix.

e^{x} = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(\begin{array}{rcl} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}) k}{k!}

Ich rechne mal die Reihe für k = 3
dann erhalte ich

\frac{(\begin{array}{rcl} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}) 0}{0!} + \frac{(\begin{array}{rcl} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}) 1}{1!} + \frac{(\begin{array}{rcl} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}) 2}{2!}

= \frac{(\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})}{1} + \frac{(\begin{array}{rcl} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array})}{1} + \frac{(\begin{array}{rcl} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{array})}{2} = ?

scheint für mich falsch zu sein , ich kann nähmlich kein Vektor mit einer Matrix addieren.

Lg.

michaL aktiv_icon

21:38 Uhr, 03.02.2011

Hallo,

sieht gut aus der Anfang. Jetzt kommt der Tipp ins Spiel. Versuche herauszufinden, was mit der Matrix

a 1
0 b

wird, wenn man sie potenziert. Dazu müsstest du wahrscheinlich ein paar Potenzen berechnen, bist du eine Formel hast. Diese Formel müsstest du dann (mit vollständiger Induktion) beweisen.

Viel Erfolg dabei!

Mfg Michael

PS: Es gilt:

(2 0)^2
(0 3) =

(4 0)
(0 9)

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22:14 Uhr, 03.02.2011

Hallo,

Ich komme zu der Formel:

e^{x} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{(\begin{array}{rcl} 2^{k} & 0 \\ 0 & 3^{k} \end{array})}{k!}

Beweise es durch Induktion.
für 1 ist klar.
für n gilt dann

e^{x} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + \sum_{i = 1}^{n} \frac{(\begin{array}{rcl} 2^{k} & 0 \\ 0 & 3^{k} \end{array})}{k!}

für n+1

e^{x} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\begin{array}{rcl} 2^{k} & 0 \\ 0 & 3^{k} \end{array})}{k!} + \frac{(\begin{array}{rcl} 2^{n + 1} & 0 \\ 0 & 3^{n + 1} \end{array})}{(n + 1)!}

Umformen
erhalte dann

e^{x} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{(\begin{array}{rcl} 2^{k} & 0 \\ 0 & 3^{k} \end{array})}{k!}

Und jetzt ?

Lg.

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22:28 Uhr, 03.02.2011

Ich habe gerade was bemerkt , habe gerade die falsche Matrix benutzt :( ich versuch das ganze noch einmal mit
(a 1)
(0 b)

michaL aktiv_icon

22:28 Uhr, 03.02.2011

Hallo,

Induktion dachte ich für

{(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array})}^{n} = (\begin{array}{cc} 2^{n} & 0 \\ 0 & 3^{n} \end{array})

und die beiden anderen Matrixpotenzen.

Aber bis hier sieht die eine Sache schon recht gut aus. Vielleicht "siehst" du die Umformung:

e^{A} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}) + (\begin{array}{cc} \frac{2^{2}}{2!} & 0 \\ 0 & \frac{3^{2}}{2!} \end{array}) + \dots + (\begin{array}{cc} \frac{2^{k}}{k!} & 0 \\ 0 & \frac{3^{k}}{k!} \end{array}) + \dots = (\begin{array}{cc} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2^{k}}{k!} & 0 \\ 0 & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{3^{k}}{k!} \end{array}) = (\begin{array}{cc} e^{2} & 0 \\ 0 & e^{3} \end{array})

?

So ähnlich musst du das für die beiden anderen Matrizen machen, wobei du bei

B

mehr Glück hast. Die Matrix ist nämlich nilpotent, d.h. es gibt eine Potenz, die gleich Null ist. Du musst bei der nur wenige Potenzen berechnen und nachher addieren. Mehr Arbeit bringt

e^{A + B}

, verwende dafür den Tipp!

Mfg Michael

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22:37 Uhr, 03.02.2011

Was meinen sie mit
"
Induktion dachte ich für ..... und die beiden anderen Matrixpotenzen."`?

michaL aktiv_icon

22:42 Uhr, 03.02.2011

Hallo,

Siezen gilt in solchen Foren wie diesen eher als unüblich und ich lege keinen Wert darauf.

Ich meinte, dass du die Aussage
Für alle

n \in ℕ

gilt

{(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array})}^{n} = (\begin{array}{cc} 2^{n} & 0 \\ 0 & 3^{n} \end{array})

.
per vollständiger Induktion beweisen sollst/musst, nicht die Sache mit der Exponentialfunktion!
Diese Aussage sieht man zwar, manche Korrektoren legen aber Wert auf eine vollständige Beweisführung/Berechnung.
Und das die Potenzen von

A

auf diese Weise berechnet werden können, ist ein wichtiger Teil der Berechnung von

e^{A}

.
Alles klar?

Mfg Michael

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22:55 Uhr, 03.02.2011

Ja ok ,danke danke !

bei B erhalte ich

e^{B} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) + . . . . + (\begin{array}{rcl} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})

Was ist mit

e^{B} * e^{A}

gilt da ganz normal die Matrizenmultipilkation?

Mfg.

michaL aktiv_icon

23:00 Uhr, 03.02.2011

Hallo,

sieht gut aus. Und ja,

e^{A}

und

e^{B}

sind ja Matrizen, die können ganz normal multipliziert werden. Nur deren Schreibweise (als Potenz) ist eben ungewöhnlich.

Eine Schwierigkeit bleibt noch:

e^{A + B}

. Dazu Tipp beachten!

Mfg Michael

Warum aktiv_icon

23:04 Uhr, 03.02.2011

Vielen dank.
Ich lasse sie dann mal schlafen.

Gute nacht.

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