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Matrix-Gleichung lösen, aber wie?

Universität / Fachhochschule

Tags: Algebra

Caly

23:43 Uhr, 17.05.2007

Hallo und guten Tag!

Kann mir jemand helfen und mir sagen wie ich folgende Matrixgleichung nach X auflösen kann:

AX((C + B)^-1)^-1 = ((C + B)A^-1)^-1

Bei den ^-1 handelt es sich um Hochzahlen.

Vielen Dank schonmal für euer bemühen! :)

Euer Caly

m-at-he

11:44 Uhr, 18.05.2007

Hallo

A*X*((C+B)^-1)^-1 = ((C+B)*A^-1)^-1 ; die Inverse Matrix einer inversen Matrix ist die Matrix selber

A*X*(C+B) = ((C+B)*A^-1)^-1 ; Potenzgesetze gelten auch für Matrizen, nur ein wenig anders (fehlende Kommutativität!)

A*X*(C+B) = (A^-1)^-1*(C+B)^-1 ; die Inverse Matrix einer inversen Matrix ist die Matrix selber

A*X*(C+B) = A*(C+B)^-1 ; von links mit A^-1

A^-1*A*X*(C+B) = A^-1*A*(C+B)^-1 ; A^-1*A = E

E*X*(C+B) = (C+B)^-1 ; E*X = X und von rechts mit (C+B)^-1

X*(C+B)*(C+B)^-1 = (C+B)^-1*(C+B)^-1 ; (C+B)*(C+B)^-1 = E und (C+B)^-1*(C+B)^-1 = (C+B)^-2

X*E = (C+B)^-2 ; X*E = X

X = (C+B)^-2

Caly

00:02 Uhr, 19.05.2007

Hallo!

Ich danke dir für deine schnelle und Kompetente Antwort!

Leider habe ich einen kleinen Fehler beim abtippen der Aufgabe gemacht, wie ich gerade bemerkt habe *schäm*

Die Aufgabe lautet nun wie folgt:

AX((C + B)D^-1)^-1 = ((C + B)A^-1)^-1

Hinzugekommen ist die Matrix D, die ich vergessen hatte.

Ich hoffe du kannst mir nochmal eine Lösung dafür geben, ich danke dir!

Grüße,

Caly

m-at-he

10:28 Uhr, 20.05.2007

Hallo,

also bei meiner ausführlichen Lösung hätte ich wetten könen, daß man einen so kleinen Lapsus selbst einarbeiten kann. Aber man lernt immer wieder dazu (damit meine ich mich!):

A*X*((C+B)*D^-1)^-1 = ((C+B)*A^-1)^-1 ; Potenzgesetze gelten auch für Matrizen, nur ein wenig anders (fehlende Kommutativität!)

A*X*(D^-1)^-1*(C+B))^-1 = ((C+B)*A^-1)^-1 ; die Inverse Matrix einer inversen Matrix ist die Matrix selber

A*X*D*(C+B)^-1 = ((C+B)*A^-1)^-1 ; Potenzgesetze gelten auch für Matrizen, nur ein wenig anders (fehlende Kommutativität!)

A*X**D(C+B)^-1 = (A^-1)^-1*(C+B)^-1 ; die Inverse Matrix einer inversen Matrix ist die Matrix selber

A*X**D(C+B)^-1 = A*(C+B)^-1 ; von links mit A^-1

A^-1*A*X**D(C+B)^-1 = A^-1*A*(C+B)^-1 ; A^-1*A = E

E*X**D(C+B)^-1 = (C+B)^-1 ; E*X = X und von rechts mit (C+B)

X**D(C+B)^-1*(C+B) = (C+B)^-1*(C+B) ; (C+B)^-1*(C+B) = E und (C+B)*(C+B)^-1 = E

X*D*E = E ; *D*E = *D

X*D = E ; von rechts mit D^-1

X*D^-1*D = E*D^-1 ; D^-1*D = E und E*D^-1=D-^1

X*E = D^-1 ; X*E = X

X = D^-1

Caly

23:35 Uhr, 20.05.2007

Hallo, vielen Dank für die schnelle Lösung!

:)

johnny2k aktiv_icon

22:52 Uhr, 24.02.2009

Die obigen beiden Beispiele fand ich sehr gut um das Rechnen mit Matrix-Gleichungen zu verstehen. Wirklich sehr ausführlich und gut kommentiert.

Nur einen einzigen Rechenschritt verstehe ich nicht:

An drei Stellen heißt es:
"Potenzgesetze gelten auch für Matrizen, nur ein wenig anders (fehlende Kommutativität!)"

Könnte mir jemand erklären, wie m-at-he da jeweils genau vorgegangen ist?

Warum ändert sich die Reihenfolge? Also warum muss es heißen:

{((C + B) \cdot A^{- 1})}^{- 1} = {(A^{- 1})}^{- 1} \cdot {(C + B)}^{- 1}

und nicht etwa:

{((C + B) \cdot A^{- 1})}^{- 1} = {(C + B)}^{- 1} \cdot {(A^{- 1})}^{- 1}

Wenn ich mit reellen Zahlen rechne, dann würde ich die untere Variante verwenden.

m-at-he

02:08 Uhr, 25.02.2009

Hallo,

ich bin gegen das Ausgraben von Leichen, man kann auch einen neuen Thread mit einem Link auf einen alten Thread aufmachen und dort seine Frage stellen!

"Wenn ich mit reellen Zahlen rechne, dann würde ich die untere Variante verwenden."

Ja natürlich, ich auch, die sind ja auch kommutuativ. Matrizen sind das nicht, das steht aber auch nur zwei Mal in meinem Uraltthread und jeder weiß: Aller guten Dinge sind drei. Ich hätte es also noch einmal hinschreiben sollen! Mein Fehler, gebe ich ehrlich zu.

Hier noch ein Mal (oder doch besser drei Mal?):

{((C + B) \cdot A^{- 1})}^{- 1} = {(A^{- 1})}^{- 1} \cdot {(C + B)}^{- 1}

weil zwar gilt:

E

= {((C + B) \cdot A^{- 1})}^{- 1} \cdot ((C + B) \cdot A^{- 1});

Einsetzen obiger Gleichung

= ({(A^{- 1})}^{- 1} \cdot {(C + B)}^{- 1}) \cdot ((C + B) \cdot A^{- 1});

Assoziativität ausnutzen

= {(A^{- 1})}^{- 1} \cdot ({(C + B)}^{- 1} \cdot ((C + B) \cdot A^{- 1});

Assoziativität ausnutzen

= {(A^{- 1})}^{- 1} \cdot (({(C + B)}^{- 1} \cdot (C + B)) \cdot A^{- 1});

einfach ausrechnen

= A \cdot (E \cdot A^{- 1});

einfach ausrechnen

= A \cdot A^{- 1};

wahre Aussage

aber nicht notwendigerweise auch:

E

= {((C + B) \cdot A^{- 1})}^{- 1} \cdot ((C + B) \cdot A^{- 1});

Einsetzen der Gleichung von johnny2k

= ({(C + B)}^{- 1} \cdot {(A^{- 1})}^{- 1}) \cdot ((C + B) \cdot A^{- 1});

einfach ausrechnen

= ({(C + B)}^{- 1} \cdot A) \cdot ((C + B) \cdot A^{- 1});

und nun???

Was kann man allgemeingültig weitermachen, was zu irgendeiner Möglichkeit führt, das Ganze weiter zusammenzufassen? Man kann mit dem Assoziativgesetz noch wild die Klammern hin- und herschieben, aber was soll das? Man kriegt nichts mehr weg! Man müßte irgendwann einmal die Matrizen einer Matrixmultiplikation vertauschen, darf man aber nicht, weil die Multiplikation nicht kommutativ ist! Im Gegenteil, es ist eine reine Fleißaufgabe, Matrizen

A, B

und

C

zu finden, so daß die folgende Gleichung nicht gilt:

{((C + B) \cdot A^{- 1})}^{- 1} = {(C + B)}^{- 1} \cdot {(A^{- 1})}^{- 1}

Ich hab' keine Lust das Ganze noch zwei Mal zu kopieren, damit es drei Mal hier steht. Ich hoffe, daß dieses Mal das eine Mal reicht!

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