Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » (Matrix - Identität)hoch n

(Matrix - Identität)hoch n

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Identität, Matrizenpotenz, Matrizenrechnung

_Rene aktiv_icon

17:57 Uhr, 26.02.2012

Hallo Leute,

versuche mich gerade auf an einer Klausuraufgabe die folgendermaßen gestellt ist

die lineare Abbildung

T : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

ist wie folgt gegeben

T = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{1} + x_{2} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{matrix})

Berechnen Sie:

= (T - i))^{n} (\vec{x})

für jedes

n \in ℕ

und

\vec{x} \in ℝ^{3}

wobei

i =

id also Identität sein soll (hab id nur als

i

geschrieben sonst hätt er mir die Matheformatierung zerhauen :-) )

also den ersten Schritt verstehe ich :

(T - i) (\vec{x}) = (\begin{matrix} x_{1} - x_{1} \\ x_{1} + x_{2} - x_{2} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} - x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ x_{1} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix})

in der Lösung gehts dann folgendermaßen weiter:

{(T - i)}^{2} (\vec{x}) = (T - i) (\begin{matrix} 0 \\ x_{1} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 - 0 \\ x_{1} - x_{1} \\ 2 x_{1} + x_{2} - x_{1} - x_{2} \end{matrix})

und hier wärs super wenn mir jemand helfen könnte zu verstehen wie das zustande kommt!
schonmal Danke für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mittwoch aktiv_icon

20:07 Uhr, 26.02.2012

Naja,

(T - I)

angewendet auf einen Vektor gibt dir, wie du ausgerechnet hast, als Ergebnis (0,den ersten Eintrag,die Summe der ersten beiden Einträge). Wenn du

T - I

auf

(T - I) (x)

anwendest bekommst du also

(T - I)^{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3} = (T - I) ((T - I) (x_{1}, x_{2}, x_{3})) = (T - I) (0, x_{1}, x_{1} + x_{2}) = (0, 0, 0 + x_{1}) = (0, 0, x_{1})

. Bei

(T - I)^{3} (x_{1}, x_{2}, x_{3})

bekommst du schon

(0, 0, 0)

raus (weil wie eben gezeigt beim Ergebnis von

(T - I)^{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) d i e e r s t e n b e i d e n E i n t r ä g e

s i n d) u n d f ü r h ö h e r e

e r s t r e c h t .

_Rene aktiv_icon

20:58 Uhr, 26.02.2012

Danke für die Anwort, aber ich glaube dann habe ich den ersten Schritt doch nicht verstanden,

was passiert denn genau wenn ich

(T - I)

auf einen Vektor anwende, ich hatte mir das so vorgestellt das der Vektor

\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

bewirkt das die Identität eben dann gleich diesem Vektor ist und von

T

abgezogen wird??

Und in nächstem Schritt würde dann nach dieser Vorstellung

(\begin{matrix} x_{1} - 0 \\ x_{1} + x_{2} - x_{1} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} - x_{1} - x_{2} \end{matrix})

was ja gar nicht passt...Identität ist doch sozusagen das Neutralelement der Multiplikation bei Abbildungen.

also I

\cdot T = T

?

Welche genaue Rechnung wird denn im ersten Schritt durchgeführt?

Mittwoch aktiv_icon

22:56 Uhr, 26.02.2012

Ich denke, du solltest dir gar nicht vorstellen, dass lineare Abbildungen multipliziert wertden. Höchstens können sie hinter einander ausgeführt werden, wie hier, weil die Abbildung in den Definitionsbereich abbildet. Wenn du das nicht verstanden hast: nicht schlimm, vergiss es wieder und lies weiter!

(T - i d) (x_{1}, x_{2}, x_{3})

ist definiert als

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) - i d (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}, x_{1} + x_{2}, x_{1} + x_{2} + x_{3}) - (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (0, x_{1}, x_{1} + x_{2})

_Rene aktiv_icon

09:55 Uhr, 27.02.2012

Ah super, danke, jetzt hab ichs glaub verstanden. Die Verknüpfung ist also als Komposition zu interpretieren. Ich schreib die nächsten Schritten mal ganz ausführlich hin:

für

n = 2

ist

{(T - i)}^{2} (\vec{x}) = (T - i) (\begin{matrix} 0 \\ x_{1} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix}) = T ((T - i) (\vec{x})) - i ((T - i) (\vec{x})) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 + x_{1} \\ 0 + x_{1} + x_{1} + x_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ x_{1} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x_{1} \end{matrix})

für

n = 3

{(T - i)}^{3} (\vec{x}) = T ({(T - i)}^{2} (\vec{x})) - i ({(T - i)}^{2} (\vec{x})) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 + x_{1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x_{1} \end{matrix}) = 0

für

n \geq 3

gilt dann offensichtlich

{(T - i)}^{n} (\vec{x}) = 0

□

Mittwoch aktiv_icon

10:01 Uhr, 27.02.2012

Genau, jetzt hast du's.

977213

976940

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?