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Matrix, Inversen, Determinante

Schüler

Tags: Verständnisfrage

Christian- aktiv_icon

22:30 Uhr, 29.10.2015

Matrix, Determinante, Inverse

Hallo, ich verstehe den Gesamtzusammenhand zwischen den Ganzen nicht. Ich weiß zwar, wie das Gaussche Algorithmus funktioniert, und das man damit Gleichungen lösen kann, mit mehreren Unbekannten, aber was hat das jetzt mit Determinanten und Inversen zu tun?

1.Was bringt mir also eine Determinante zu bestimmen? Ich bekomme am Ende eine Zahl heraus, und was bringt sie mir? (Ich weiß, dass man Determinanten verwendent, um zu schauen, ob eine Matrix lösbar ist. Aber, wenn ich eine Determinante berechne, dann bekomme ich eine Zahl, und wie bitteschön soll ich anhand einer Zahl sagen, ob eine Matrix lösbar ist? (Satz von Sarrus ist mir bekannt)

Was ist eine Inverse, und warum wird eine Inverse angewendet?Funktioniert Inverse nur bei

2 x 2

Matrizen?
(Ich weiß, dass man Inversen benutz, um eine Einheitsmatrix wieder zu bekommen. Aber was bringt mir diese Einheitsmatrix in der weiteren Rechnung?)

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Es wäre sehr sehr sehr hilfreich dies anhand einer Rechnung zu verdeutlichen, Schritt für Schritt, damit ich das nachvollziehen kann.
In Wikipedia werden viele Zwischenschritte gelassen, sodass ich nicht weiß, wie man auf das Ergebis kommt.
Danke, wer sich schon mal die Mühe macht. ( Ich bin kein Student!!!)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

22:46 Uhr, 29.10.2015

Was bedeutet für dich "eine Matrix ist lösbar" ?
Eine Matrix ist keine Gleichung.

Christian- aktiv_icon

23:33 Uhr, 29.10.2015

Eine Gleichung in der Matrixschreibweise...

Respon

23:39 Uhr, 29.10.2015

Simples Beispiel
LGS:

3 \cdot x + 4 \cdot y = 5

2 \cdot x - 5 \cdot y = 2

In Matrizenschreibweise

(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & - 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})

Oder symbolisch

A \cdot x = b

Wenn es gelingt, ein

A^{- 1}

zu definieren mit

A^{- 1} \cdot A = E,

so gilt

A \cdot x = b

A^{- 1} \cdot A \cdot x = A^{- 1} \cdot b

E \cdot x = A^{- 1} \cdot b

x = A^{- 1} \cdot b

Damit wäre das LGS gelöst ( egal wie groß es auch sein mag ).
Allerdings kann man

A^{- 1}

nur bilden, wenn A regulär ( invertierbar, nichtsingulär) ist. Und das ist sie, wenn

det (A) \neq 0

.
usw.

Christian- aktiv_icon

23:54 Uhr, 29.10.2015

So.

Das LGS habe ich verstanden.
Die Überführung in die Matrixschreibweise habe ich auch verstanden.
Die Symbolik habe ich auch verstanden.

Ich verstehe nicht, was

A \cdot A^{- 1} = E

sein soll?

((\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}) (2), (- 5))

ich habe vergessen, wie man eine Matrixschreibweise auf dieser Seite durchführt!

; (

Respon

00:01 Uhr, 30.10.2015

A^{- 1} \cdot A = E

ist die Eigenschaft des inversen Elements bezüglich einer Verknüpfung.
dabei ist A das Element,

A^{- 1}

das zu A inverse Element

A^{- 1}

und

E

das "neutrale" Element bezüglich dieser Verknüpfung ( siehe Gruppen- und Körperaxiome ).
Simples Beispiel
Das zu 5 inverses Element bezüglich der normalen Multiplikation ist

\frac{1}{5},

5 \cdot \frac{1}{5} = 1 (

und 1 ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ).
Oder
Das zu 5 inverse Element bezüglich der normalen Addition ist

- 5,

5 + (- 5) = 0 (

und 0 ist das neutrale Element bezüglich der Addition.

Christian- aktiv_icon

00:06 Uhr, 30.10.2015

A ist also eine Element.

Dieses Element könnte auch eine Matrix sein, richtig?

(\begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix}) = A

als Beispiel.

Und jetzt laut der Formel:

{(\begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix})}^{- 1} \cdot (\begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix}) \cdot x = {(\begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix})}^{- 1} \cdot b

So stelle ich mir das vor? Was soll das?XD

Respon

00:08 Uhr, 30.10.2015

Damit ist das LGS gelöst ( siehe weiter oben ).

Christian- aktiv_icon

00:10 Uhr, 30.10.2015

Also hast du oben das LGS mit Hilfe einer Inverse gelöst?

Respon

00:12 Uhr, 30.10.2015

Ja, wobei die Berechnung einer inversen Matrix ein doch etwas komplexerer Rechenvorgang ist.

Christian- aktiv_icon

00:19 Uhr, 30.10.2015

Zusammenfassend.

Ich bekomme eine Aufgabe, die Lautet: Fassen sie dieses LGS zu einer Inverse zusammen.

((3), (4) (2), (- 5))

Wieder verlernt, wie man das schreibt; ( und dann muss man das machen und bekommt das Ergebis heraus?

Respon

00:24 Uhr, 30.10.2015

"Ich bekomme eine Aufgabe, die Lautet: Fassen sie dieses LGS zu einer Inverse zusammen."
Das ergibt natürlich keinen Sinn, obwohl ich die Intention verstehe.
Konklusio:
Mit der Matrizenrechnung hat man eine neue und und sehr umfassende Methode zur Verfügung, LGS zu lösen bzw. ihre Lösbarkeit zu interpretieren.
Darüber hinaus können Matrizen noch viel mehr

(z . B

. Koordinatentransformationen usw. ).

Christian- aktiv_icon

00:29 Uhr, 30.10.2015

Das hilft mir jetzt nicht wirklich weiter.

Nehmen wir man folgendes Beispiel an..

Berechnen sie die Inversen Matrizen:

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix})

Dann muss ich das folgendermaßen machen laut der Formel

A^{- 1} \cdot A = E

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = E

so oder was?

Respon

00:33 Uhr, 30.10.2015

Nein, da wirbeln wieder ein paar Dinge durcheinander, die nichts miteinander zu tun haben.
Wenn du zu einer Matrix die Inverse bilden willst, dann musst du die relevanten Rechenregeln anwenden.
siehe de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix
Wie und wann und wo und wozu du die inverse Matrix einsetzt, ist ein ganz anderer Bereich.

Christian- aktiv_icon

00:36 Uhr, 30.10.2015

Genau das versuche ich die ganze Zeit zu erfahren!!!!

Ich will so etwas berechnen können. Und ich will wissen, was ich mit dem Ergebnis dann für ein Ziel erreicht habe bzw. was ich mit dem Ergbenis alles machen kann.

Und, kannst du mir dabei helfen?

Respon

00:40 Uhr, 30.10.2015

Dazu gibt es umfangreiche Literatur im Netz. Die Invere läßt sich berechnen mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus oder der Methode der Adjunkten. Wichtig ist, dass vorher die grundlegenden Regeln bezüglich Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar und Matrizenmultiplikation verinnerlicht werden. Nur dann ist Weiterfüherndes auch zielführend.

Respon

00:55 Uhr, 30.10.2015

La cama esta esperando.
Buenos !

Christian- aktiv_icon

01:00 Uhr, 30.10.2015

Gute Nacht erstmal.

Wir machen morgen bzw. heute weiter.

Ich weiß, wie man eine

3 x 3

Matrix löst, ich kenne alle Kniffe und Griffe. Keine Angst.

Mit dm Gauß Algorithmus kann ich umgehen.

,,Gauß-Jordan-Algorithmus oder der Methode der Adjunkten.''
Wenden wir gleich diese Methode hier auf diese Matrix an, morgen wenn du wieder frisch aufgewacht bist, können wir loslegen. Jetzt bist du sicherlich müde und gestresst von der harten Arbeit.

Also bis dann, ich freue ich schon morgen auf die wissenschaftlichen Rechnungen!

Stephan4

01:09 Uhr, 30.10.2015

Mit der Inversen kann man zum Beispiel 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten lösen:

(\begin{matrix} 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 80 \\ 110 \\ 30 \end{matrix})

oder:

A \cdot \vec{x} = \vec{z} | A^{- 1} \cdot

Die Inverse von A mit beiden Seiten multiplizieren:

A^{- 1},

die Inverse lautet

(\begin{matrix} - 0,2 & 0,6 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0,4 & - 0,2 & 1 \end{matrix})

Wie man es ausrechnet, zeigen Dir Tonnen von Utube-Videos oder Online-Rechner, oder die Excel-Funktion MINV.

A^{- 1} \cdot A \cdot \vec{x} = A^{- 1} \cdot \vec{z}

(\begin{matrix} - 0,2 & 0,6 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0,4 & - 0,2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 0,2 & 0,6 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0,4 & - 0,2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 80 \\ 110 \\ 30 \end{matrix})

wobei

A^{- 1} \cdot A = E

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 0,2 & 0,6 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0,4 & - 0,2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 80 \\ 110 \\ 30 \end{matrix})

E=das neutrale Element kann weg gelassen werden;

Weiter in der Rechnung:

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = A^{- 1} \cdot \vec{z}

\vec{x} = (\begin{matrix} - 0,2 & 0,6 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0,4 & - 0,2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 80 \\ 110 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 30 \\ 40 \end{matrix})

Fertig.

Falls nun in weiteren Gleichungen nur das

\vec{z}

anders ist, braucht man es nur mit der Inversen zu multiplizieren, was viel einfacher ist, als die Gleichung nochmals zu lösen.

:-)

Christian- aktiv_icon

01:12 Uhr, 30.10.2015

Ich lese mir erstmal deinen Beitrag in Ruhe an, und antworte dir morgen darauf, sei vorbereitet, und antworte gefälligst dann auch zurück Stefan. Hehe.

So, bis später

Christian- aktiv_icon

01:26 Uhr, 30.10.2015

Hallo, so habe es mir durchgelesen, es bringt mir nichts, wenn du am Anfang nicht beschreibst, wie du von meiner obigen Aufgabenstellung sofort auf

80, 110

und

30

kommst.

Wenn du mir das Beschreiben könntest, könnte ich im Verlauf deine anderen Rechnungen nachvollziehen.

Stephan4

01:52 Uhr, 30.10.2015

Das war ja auch MEIN Beispiel, wie man die Inverse zum Beispiel anwendet.

Deines von

00 : 29

Uhr,

30.10.2015

geht so:
Die Inverse von

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix})

ist

\frac{1}{12} \cdot (\begin{matrix} - 6 & 0 & 6 \\ - 8 & 4 & 0 \\ 9 & 0 & - 3 \end{matrix}),

wobei
ich

\frac{1}{12}

herausgehoben habe, um Kommazahlen zu vermeiden.

\frac{1}{12} \cdot (\begin{matrix} - 6 & 0 & 6 \\ - 8 & 4 & 0 \\ 9 & 0 & - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Übrigens, eine Matrix schreibt man hier am Besten so:
"((1,

0, 2), (2, 3, 4), (3, 0,

2))"
aber immer mit einem Leerschlag nach dem Beisrich und ohne Anführungszeichen.

:-)

Christian- aktiv_icon

03:58 Uhr, 30.10.2015

Alles klar.

So, du hast jetzt mein Beispiel durchgerechnet.
Sofort bei der 1. Zahl muss ich eine Frage stellen.

Wie kommst du rechnerisch auf

\frac{1}{12}

? Das du

\frac{1}{12}

heraushebst, ist mir bewusst.

She-Ra aktiv_icon

11:08 Uhr, 30.10.2015

Hey Christian,

beschäftigst du dich jetzt mit Matrizen und so :-)

also zu deiner Frage wegen den

\frac{1}{12},

das ist ja gerade der Faktor den du aus Matrix ausklammern kannst, also dein kleinstes gemiensames Vielfaches... Sieht einfach besser aus wenn man's ausklammert und zum weiterrechnen auch angenehmer.

Die Inverse Matrix (nach dem Gauß) sieht bei mir zum Beispiel so aus

(\begin{matrix} \frac{- 1}{2} 0 \frac{1}{2} \\ \frac{- 2}{3} \frac{1}{3} 0 \\ \frac{3}{4} 0 \frac{- 1}{4} \end{matrix})

und jetzt kannst du es so wie @Stephan4 aufschreiben (siehe oben)

Achso nur so als weitere Möglichkeit, du könntest die Inverse auch mit Cramer berechnen, aber im Allgemeinen ist das meistens aufwendiger als mit Gauß.

Bin schon wieder weg.
LG

Stephan4

11:25 Uhr, 30.10.2015

Christian, erst habe ich die Inverse berechnet, dann habe ich als allen Zahlen den kleinsten gemeinsamen Nenner gesucht, gefunden und herausgehoben.

:-)

Christian- aktiv_icon

13:31 Uhr, 31.10.2015

Danke bis hier hin. Wenn ich das nun selber machen müsste, würde ich es immernoch nicht wissen, weil:

,,Christian, erst habe ich die Inverse berechnet,''
Kannst du mir rechnerisch jeden Schritt zeigen, damit ich die Rechenschritte sehe?
Sheara meinte, es sei der kgV! Wie soll ich aus 6 Zahlen, die in der Matrix stehen den kgv finden?
Es ist also besser mir alle Rechenschritte aufzuschreiben, egal wie unnötig sie für dich sind, für mich ist jeder noch so kleine Nebenschritt wichtig.

Es ist so, als würdes du kein Schach spielen können, und ich würde dir eine Partie aus dem

1967

geben, und würde dir sagen, okey,setze den gegner in

13

Zügen Schachmatt, ah ein tipp, fang mit dem Bauer an.

Ich hoffe du verstehst die Analogie, also bitte, rechne es vor!^.-

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