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Matrix Primzahlen

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Tags: Matrix, Primzahleln

 
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MaaaathStuuudent

MaaaathStuuudent aktiv_icon

12:30 Uhr, 15.09.2020

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Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Gegeben sei folgende Matrix A:

434x15
217x2=4
318x316

Für jede Primzahl Fp = Z/pZ gilt

a) Bestimmen Sie die Determinante von A.

b) Bestimmen Sie für jedes P die Anzahl seiner Lösungen in x1,x2,x3EF3 des Gleichungssystems.

Die Aufgabe a) habe ich berechnet. Die Lösung der Determinante ist laut meiner Lösung 15.
Wie rechne ich nun die b) aus? Mein Ansatz ist dass ich die Determinante in Primzahlen 3x5=15 schreiben kann.
Also: Falls pE{3,5}, so ist A invertierbar über Fp und damit das Gleichungssystem lösbar.

Aber jetzt muss ich noch die einzelnen Fälle also p=3 und p=5 betrachten, weiß aber leider nicht wie ich diese ausrechnen kann.

Bedeutet das F das negative Zahlen nicht erlaubt sind?

Ich freue mich über jede Hilfe zur Aufgabe b). Vielen Dank.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:26 Uhr, 15.09.2020

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Hallo,
du meinst wohl
(434217312)(x1x2x3)=(546).
Bitte gib dir das nächste Mal mehr Mühe beim Formelschreiben !
zu (a): Die Determinante det(A)=15 stimmt.
zu (b): wenn p∉{3,5} ist, dann ist det(A)≠0 im Körper Fp.
Ist hingegen p=3 oder p=5, dann ist det(A)=0 in Fp.
Für p≠3,5 ist die Matrix also invertierbar und die Gleichung hat genau
eine Lösung.
In den Fällen p=3 und p=5 musst du mithilfe z.B. des Gauss-Algorithmus
den Rang von A und den Rang der erweiterten Matrix bestimmen.
Mach das mal !
Gruß ermanus
MaaaathStuuudent

MaaaathStuuudent aktiv_icon

16:31 Uhr, 15.09.2020

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Danke, der Gauss Algorithmus war auch mein Gedanke, stimmt es aber das bei P=3 nur der Zahlenbereich 0-3 exisitiert? Was wäre dann hier das Ergebnis von 2-3 zum Beispiel? oder 14-4?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:42 Uhr, 15.09.2020

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F3 besteht aus Restklassen modulo 3.
Hiervon gibt es drei Stück: [0],[1],[2].
Man kann dieselben Restklassen aber auch durch andere
Repräsentanten beschreiben, also z.B. so: [9],[-5],[14].
Aus "Faulheitsgründen" lässt man in der Praxis die Klassenklammern
"[]" meistens weg.
Man schreibt dann statt [9] z.B. einfach 9 und rechnet modulo 3,
also z.B. 5-17=2-2=0.
Gruß ermanus
Frage beantwortet
MaaaathStuuudent

MaaaathStuuudent aktiv_icon

11:19 Uhr, 17.09.2020

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Danke, habe es nun verstanden. :-)