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Matrix Primzahlen

Universität / Fachhochschule

Tags: Matrix, Primzahleln

MaaaathStuuudent aktiv_icon

12:30 Uhr, 15.09.2020

Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Gegeben sei folgende Matrix

A :

434 x 15

217 x 2 = 4

318 x 316

Für jede Primzahl Fp = Z/pZ gilt

a)

Bestimmen Sie die Determinante von A.

b)

Bestimmen Sie für jedes

P

die Anzahl seiner Lösungen in

x 1, x 2, x 3 E F^{3}

des Gleichungssystems.

Die Aufgabe

a)

habe ich berechnet. Die Lösung der Determinante ist laut meiner Lösung

15

.
Wie rechne ich nun die

b)

aus? Mein Ansatz ist dass ich die Determinante in Primzahlen

3 x 5 = 15

schreiben kann.
Also: Falls pE

{

3,5}, so ist A invertierbar über Fp und damit das Gleichungssystem lösbar.

Aber jetzt muss ich noch die einzelnen Fälle also

p = 3

und

p = 5

betrachten, weiß aber leider nicht wie ich diese ausrechnen kann.

Bedeutet das

F

das negative Zahlen nicht erlaubt sind?

Ich freue mich über jede Hilfe zur Aufgabe

b)

. Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

ermanus aktiv_icon

16:26 Uhr, 15.09.2020

Hallo,
du meinst wohl

(\begin{array}{ccc} 4 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 7 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 6 \end{array})

.
Bitte gib dir das nächste Mal mehr Mühe beim Formelschreiben !
zu (a): Die Determinante

\det (A) = 15

stimmt.
zu (b): wenn

p \notin {3, 5}

ist, dann ist

\det (A) \neq 0

im Körper

F_{p}

.
Ist hingegen

p = 3

oder

p = 5

, dann ist

\det (A) = 0

F_{p}

.
Für

p \neq 3, 5

ist die Matrix also invertierbar und die Gleichung hat genau
eine Lösung.
In den Fällen

p = 3

und

p = 5

musst du mithilfe z.B. des Gauss-Algorithmus
den Rang von

A

und den Rang der erweiterten Matrix bestimmen.
Mach das mal !
Gruß ermanus

MaaaathStuuudent aktiv_icon

16:31 Uhr, 15.09.2020

Danke, der Gauss Algorithmus war auch mein Gedanke, stimmt es aber das bei

P = 3

nur der Zahlenbereich

0 - 3

exisitiert? Was wäre dann hier das Ergebnis von

2 - 3

zum Beispiel? oder

14 - 4

ermanus aktiv_icon

16:42 Uhr, 15.09.2020

F_{3}

besteht aus Restklassen modulo 3.
Hiervon gibt es drei Stück:

[0], [1], [2]

.
Man kann dieselben Restklassen aber auch durch andere
Repräsentanten beschreiben, also z.B. so:

[9], [- 5], [14]

.
Aus "Faulheitsgründen" lässt man in der Praxis die Klassenklammern
"[]" meistens weg.
Man schreibt dann statt

[9]

z.B. einfach 9 und rechnet modulo 3,
also z.B.

5 - 17 = 2 - 2 = 0

.
Gruß ermanus

MaaaathStuuudent aktiv_icon

11:19 Uhr, 17.09.2020

Danke, habe es nun verstanden. :-)

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