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Matrix, Rang, Bild, Dimension und Rangsatz

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Algebra, Matritzen

informatikstudent_123 aktiv_icon

00:10 Uhr, 18.02.2016

Moin Leute, Ich habe Verständnisprobleme bei der Dimension einer Matrix:

(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix})

Abgesehen davon, dass ich direkt sehe, dass Spaltenvektor drei zweimal Spaltenvektor eins ist, rechne ich das alles mal durch.

Ich möchte den Defekt(=Dim(Ker(A)) sowie den Rang (=Dim(Bild(A)) berechnen.

Mittels Gauss erhalte ich:

(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Daraus folgt der Rang ist zwei bzw. die Dimension des Bildes ist 2.

Alternativ das Bild berechnen:

A^{T} \Rightarrow

Gauss

\Rightarrow^{T} \Rightarrow (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \end{matrix})

Daraus folgt, dass die ersten beiden Spaltenvektoren die Bildmenge bilden
Im(A)

= < {(1, 2, 3)}^{T}, {(3,4,5)}^{T} >

Da zwei linear unabhängige Vektoren das Bild sind, entsteht eine Ebene

- \to

Dimension 2
Rang(A) = dim(Im(A)

= 2

Nun berechne ich den Kern von A.

Matrix

A | b;

wobei

b

der Nullvektor ist

\Rightarrow

Gauss

\Rightarrow (\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

x 3 = t; x 2 = 0;

x 1 + 2 t = 0;

x 1 = - 2 t;

Ker(A)

= {t \cdot {((- 2), 0, 0)}^{T} \in K^{3 x 3} : t \in R}

\Rightarrow

dim(Ker(A)) = Defekt(A)

= 1

Rangsatz:
Dim(A)

= 1 + 2 = 3

Frage/Mein Problem:
Ist die Dimension wirklich drei oder habe ich einen Fehler gemacht? Warum ist die Dimension der Matrix

3,

beziehungsweise woher kommt das? Von den drei Zeilen oder den drei Spalten?

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

00:40 Uhr, 18.02.2016

Hallo
nicht die Dimesion der Matrix ist 3 sondern der Raum in dem sie als lineare Abbildung wirkt.
vielleicht kann man dazu auch verkürzt Dimension der Matrix sagen , ich kenne das so nicht.
Gruß ledum