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Matrix-Transposition

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Tags: Matrix, transponiert

 
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Sukomaki

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17:48 Uhr, 16.05.2019

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Hallo,

ich habe zur Abwechslung mal zwei leichte Fragen :-)
Und zwar geht es um lineare Algebra.

Es ist ja für zwei Matrizen A(k×l) und B(l×m) : (AB)T=BTAT.

Daraus folgt - wie sich mit vollständiger Induktion leicht zeigen lässt -
für eine quadratische Matrix A(k×k) : n : (AT)n=(An)T

Wie lässt sich das jetzt auf reelle Exponenten verallgemeinern?

I) ε(AT)ε=(Aε)T

Und

II) n:AnBn=(BnAn)Tε:(AεBε)=(BεAε)T

Ich finde da leider keinen Ansatz.
Kommt da die Stetigkeit der Matrix-Multiplikation ins Spiel?

Oder sind I) und II) gar nicht so allgemeingültig wie ich denke?
Klar ist : A muss regulär und nicht nilpotent sein.

Gruß
Maki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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ermanus

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19:00 Uhr, 16.05.2019

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Hallo,

was soll denn z.B. (1237)13
bei dir bedeuten?

Gruß ermanus
Antwort
ermanus

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10:12 Uhr, 17.05.2019

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Hallo,
hier noch mal ein Beispiel, dass das Konzept nichtganzzahliger
Potenzen von Matrizen wohl unbrauchbar ist:

was soll (1001)12 bedeuten?

Es müsste ja eine Matrix X sein, die der Gleichung X2=(1001) genügt.
Es gibt aber unendlich viele reelle Matrizen, die dieser Gleichung genügen,
z.B. alle Matrizen der Form (10a-1)
mit beliebigem a.

Gruß ermanus
Sukomaki

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23:24 Uhr, 17.05.2019

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(1237)13=(0.670.3840.5761.822) und (0.670.3840.5761.822)3=(1237)

Sei die quadratische n×n-Matrix A diagonalisierbar. Dann ist A=VEV-1
und A1k=VE1kV-1 wobei E=(λ100λ2) die Matrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist.

D.h. die Uneindeutigkeit von A1k reduziert sich auf die Uneindeutigkeit von λ1k.

EId=Id=(1001) und EId1k=(11k0011k)

Das sind ja gerade die Einheitswurzeln.

Ich möchte daher festlegen, dass (1001)1k=(1001) und nicht etwa (10a-1)(1001)12

Sozusagen ist (1001) die "Hauptwurzel" von (1001)

Kennst Du vielleicht eine geometrische Deutung aller "Wurzeln" von (1001)?

Gruß
Maki
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ermanus

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23:52 Uhr, 17.05.2019

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Hallo,
im Falle diagonalisierbarer Matrizen mag man das irgendwie hinbekommen,
was soll aber z.B.

(0-110)12 ?

sein?

Gruß ermanus
Sukomaki

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01:07 Uhr, 18.05.2019

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Das ist einfach :
(0-110)12=(22-222222)=22(1-111)

weil 2222=12 und (1-111)(1-111)=(0-220) :-D)

Antwort
ermanus

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08:31 Uhr, 18.05.2019

Antworten
Ja, das Problem ist also nicht, EINE "Wurzel" zu finden, sondern wohl eher,
festzulegen, welche der Möglichkeiten als DIE "Wurzel" ausgezeichnet werden soll.
Warum im letzten Falle nicht
22(-11-1-1) ?
Soll man da die Minuszeichen zählen?
Schon im Komplexen ist die Sprechweise "sei ω die 3-te Wurzel aus 1"
mit Recht verpönt. Sei nun ω eine(!) primitive 3-te Einheitswurzel.
Was ist dann mit
(1001)13 ?
Das wäre z.B. eine der komplexen Matrizen
(ω001),(ω00ω),(ω2001),(ω200ω),(ω00ω2), usw. ...
oder, um den reellen Matrizenring nicht zu verlassen, eher so eine reelle Matrix
12(-1-33-1) ?
Ich meine, das Konzept eindeutig ausgezeichneter n-ter Wurzeln aus
Matrizen bringt keinen Nutzen und verschleiert nur künstlich die Tatsache,
dass hier immer ganze Lösungsmengen von "puren" Gleichungen Xn=A
auftreten.
Ich werde das Konzept nicht weiter verfolgen. War aber sehr interessant :-)
Gruß ermanus
Sukomaki

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14:39 Uhr, 18.05.2019

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Hallo an alle Andere,

die Hauptwurzel zu finden ist naheliegend :

Ich diagonalisiere die Matrix A=VEV-1 mit E=(λ100λ2), wobei λ1,2

In Polarform ist das (r1eiφ100r2eiφ2)

Daraus folgt : (λ100λ2)1k=(r11keiφ1k+i2πmk00r21keiφ2k+i2πmk)

Die Hauptwurzel ist nun gegeben für m=0

Also nichts mit Minuszeichen zählen ;-)

Die Eigenwerte von (0-110) sind {+i,-i}.

Daraus folgt : E12=(i00-i)=(eiπ4+iπm00e-iπ4+iπm)

Für m=0 ist (0-110)12=22(1-111)

Für m=1 erhalte ich die von ermanus vorgeschlagene Matrix : (0-110)12=22(-11-1-1)

"DIE" Wurzel bestimmt sich durch die Wahl von m=0.

Gruß
Maki
Sukomaki

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10:43 Uhr, 19.05.2019

Antworten
Hi,

nachdem ich die Hauptwurzel auf jene Art definiert habe,

möchte ich zu meinem ursprünglichen Anliegen zurückkehren :

Wie zeige ich, dass ε:(AT)ε=(Aε)T?

Hat jemand eine Idee?

Gruß
Maki
Antwort
pwmeyer

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11:52 Uhr, 19.05.2019

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Hallo,

da Du doch für diagonalisierbare Matrizen A eine Formel angegeben hast, kannst Du doch diese Gleichung direkt nachrechnen.

Gruß pwm
Sukomaki

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12:14 Uhr, 19.05.2019

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Hallo,

Was meinst Du mit "direkt nachrechnen"?

Ich habe die Gleichung A=VEV-1 und daraus will ich folgern, dass (AT)ε=(Aε)T.

Ich weiss, dass A und AT dieselben Eigenwerte haben,
aber das bringt mich hier nicht wirklich weiter.

Gruß
Maki
Antwort
ermanus

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19:49 Uhr, 19.05.2019

Antworten
Hallo,
jetzt mal abgesehen von meiner Kritik an deinen Begrifflichkeiten,
kann man ja folgende Aussagen leicht beweisen:

1. Sei n eine natürliche Zahl, dann gilt:
ist X eine Lösung von Xn=A, dann ist Y=XT eine Lösung
von Yn=AT wegen (XT)n=(Xn)T.

2. Aus AA-1=In, folgt (A-1)TAT=(AAT)T=InT=In, also (A-1)T=(AT)-1.

3. Sei m. Ist X eine Lösung von Xn=Am, so gilt auch
(XT)n=(AT)m. Also ist dann Y=XT eine Lösung von
Yn=(Am)T.

Gruß ermanus
Sukomaki

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22:52 Uhr, 19.05.2019

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Hi,

ich vermute, Du meinst (A-1)TAT=(AA-1)T.

Kann ich aus 3. folgern, dass m,n:(Xnm)T=(XT)nm,
wobei mit Xnm die Hauptwurzel der m Einheitswurzeln von Xn gemeint ist?

Oder ist diese abkürzende Schreibweise unzulässig?

Gruß
Maki

Antwort
ermanus

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23:45 Uhr, 19.05.2019

Antworten
Also, du kannst bestenfalls in deiner Art es darzustellen auf
(Amn)T=(AT)mn schließen; denn Y steht doch
für eine Lösung.
Sukomaki

Sukomaki aktiv_icon

12:23 Uhr, 20.05.2019

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Hallo ermanus,

okay, damit haben wir die rationalen Exponenten.
Hast Du auch eine Idee für irrationale Exponenten? :-)

Übrigens : Für nicht diagonalisierbare Matrizen wie z.B. (1201)
lässt sich die Wurzel über die Jordansche Normalform bestimmen.

Gruß
Maki
Frage beantwortet
Sukomaki

Sukomaki aktiv_icon

11:18 Uhr, 23.05.2019

Antworten
Keiner mehr?

Dann hake ich jetzt ab.