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Hallo, ich habe zur Abwechslung mal zwei leichte Fragen :-) Und zwar geht es um lineare Algebra. Es ist ja für zwei Matrizen und : . Daraus folgt - wie sich mit vollständiger Induktion leicht zeigen lässt - für eine quadratische Matrix : : Wie lässt sich das jetzt auf reelle Exponenten verallgemeinern? I) Und II) Ich finde da leider keinen Ansatz. Kommt da die Stetigkeit der Matrix-Multiplikation ins Spiel? Oder sind I) und II) gar nicht so allgemeingültig wie ich denke? Klar ist : A muss regulär und nicht nilpotent sein. Gruß Maki Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, was soll denn z.B. bei dir bedeuten? Gruß ermanus |
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Hallo, hier noch mal ein Beispiel, dass das Konzept nichtganzzahliger Potenzen von Matrizen wohl unbrauchbar ist: was soll bedeuten? Es müsste ja eine Matrix sein, die der Gleichung genügt. Es gibt aber unendlich viele reelle Matrizen, die dieser Gleichung genügen, z.B. alle Matrizen der Form mit beliebigem . Gruß ermanus |
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und Sei die quadratische -Matrix diagonalisierbar. Dann ist und wobei die Matrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist. D.h. die Uneindeutigkeit von reduziert sich auf die Uneindeutigkeit von . und Das sind ja gerade die Einheitswurzeln. Ich möchte daher festlegen, dass und nicht etwa Sozusagen ist die "Hauptwurzel" von Kennst Du vielleicht eine geometrische Deutung aller "Wurzeln" von ? Gruß Maki |
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Hallo, im Falle diagonalisierbarer Matrizen mag man das irgendwie hinbekommen, was soll aber z.B. ? sein? Gruß ermanus |
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Das ist einfach : weil und :-D) |
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Ja, das Problem ist also nicht, EINE "Wurzel" zu finden, sondern wohl eher, festzulegen, welche der Möglichkeiten als DIE "Wurzel" ausgezeichnet werden soll. Warum im letzten Falle nicht ? Soll man da die Minuszeichen zählen? Schon im Komplexen ist die Sprechweise "sei die 3-te Wurzel aus 1" mit Recht verpönt. Sei nun eine(!) primitive 3-te Einheitswurzel. Was ist dann mit ? Das wäre z.B. eine der komplexen Matrizen ,,,,, usw. ... oder, um den reellen Matrizenring nicht zu verlassen, eher so eine reelle Matrix ? Ich meine, das Konzept eindeutig ausgezeichneter -ter Wurzeln aus Matrizen bringt keinen Nutzen und verschleiert nur künstlich die Tatsache, dass hier immer ganze Lösungsmengen von "puren" Gleichungen auftreten. Ich werde das Konzept nicht weiter verfolgen. War aber sehr interessant :-) Gruß ermanus |
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Hallo an alle Andere, die Hauptwurzel zu finden ist naheliegend : Ich diagonalisiere die Matrix mit , wobei In Polarform ist das Daraus folgt : Die Hauptwurzel ist nun gegeben für Also nichts mit Minuszeichen zählen ;-) Die Eigenwerte von sind . Daraus folgt : Für ist Für erhalte ich die von ermanus vorgeschlagene Matrix : "DIE" Wurzel bestimmt sich durch die Wahl von . Gruß Maki |
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Hi, nachdem ich die Hauptwurzel auf jene Art definiert habe, möchte ich zu meinem ursprünglichen Anliegen zurückkehren : Wie zeige ich, dass ? Hat jemand eine Idee? Gruß Maki |
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Hallo, da Du doch für diagonalisierbare Matrizen A eine Formel angegeben hast, kannst Du doch diese Gleichung direkt nachrechnen. Gruß pwm |
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Hallo, Was meinst Du mit "direkt nachrechnen"? Ich habe die Gleichung und daraus will ich folgern, dass . Ich weiss, dass und dieselben Eigenwerte haben, aber das bringt mich hier nicht wirklich weiter. Gruß Maki |
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Hallo, jetzt mal abgesehen von meiner Kritik an deinen Begrifflichkeiten, kann man ja folgende Aussagen leicht beweisen: 1. Sei eine natürliche Zahl, dann gilt: ist eine Lösung von , dann ist eine Lösung von wegen . 2. Aus , folgt , also . 3. Sei . Ist eine Lösung von , so gilt auch . Also ist dann eine Lösung von . Gruß ermanus |
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Hi, ich vermute, Du meinst . Kann ich aus 3. folgern, dass , wobei mit die Hauptwurzel der Einheitswurzeln von gemeint ist? Oder ist diese abkürzende Schreibweise unzulässig? Gruß Maki |
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Also, du kannst bestenfalls in deiner Art es darzustellen auf schließen; denn steht doch für eine Lösung. |
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Hallo ermanus, okay, damit haben wir die rationalen Exponenten. Hast Du auch eine Idee für irrationale Exponenten? :-) Übrigens : Für nicht diagonalisierbare Matrizen wie z.B. lässt sich die Wurzel über die Jordansche Normalform bestimmen. Gruß Maki |
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Keiner mehr? Dann hake ich jetzt ab. |