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Matrix! Wichtig!!
Universität / Fachhochschule
Tags: Algebra
 
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anonymous 21:56 Uhr, 02.11.2004  |
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Hallo! Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: n € N1. Man nennt A=(aij)ij € M(n*n,R) eine obere Dreiecksmatrix falls aij=0 für i>j ist. Nun soll ich zeigen dass die obere Dreicksmatrizen einen Unterring des Rings M(n*n,R) bilden. Ich weiß auch das folgende Axiome erfüllt sein müssen 1. A ist bzgl. der Addition abgeschlossen 2. A IST bzgl. der Multiplikation abgeschlossen 3. 1 €A wobei 1 neutrales Element bzgl. Multiplikation 4. A ist abgeschlossen unter Inversenbildung bzgl. der Addition. Nur mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß wie ich das allgemein zeigen soll. Kann mir bitte jemand helfen? |
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Hallo Marie ich bin kein Mathe-Crack und weiss deshalb nicht, ob deine 4 Punkte, die zu zeigen sind, stimmen. Da du aber ein Mathe-Crack bist, nehme ich an, das sei richtig. > 1. M ist bzgl. der Addition abgeschlossen Hier musst du einfach annehmen, dass du 2 obere Dreiecksmatrizen hast. Dann musst du nachweisen, dass die Summe der 2 Matrizen wieder eine obere Dreiecksmatrix ist. Also etwa so: Seien A = (aij), B = (bij) und C = (cij) obere Dreiecksmatrizen mit A + B = C Dann ist cij = aij + bij = 0 für i>j, weil aij = 0 und bij = 0 für i>j. Das heisst: C ist auch eine obere Dreiecksmatrix. Für die Multiplikation geht es ganz genau gleich, nur ist die Berechnungsformel für cij etwas komplizierter. > 3. 1 € M wobei 1 neutrales Element bzgl. Multiplikation Die Matrix E (eij) mit eij = 1 für i=j, eij = 0 für i<>j ist das Neutrale Element der Multiplikation und ist ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix (Weil ja eij = 0 für i>j) 4. M ist abgeschlossen unter Inversenbildung bzgl. der Addition. -A ist ja sicher auch eine obere Dreiecksmatrix, wei -0 = 0 ist, das heisst, es gilt auch hier: aij = 0 für i>j. Schon fertig! Zu 4. vielleicht noch: das additive Inverse wird ja gebildet, indem jedes aij negiert wird. Mit lieben Grüssen Paul |
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