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Matrix als Homomorphismus

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

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08:58 Uhr, 19.02.2013

Schönen guten Morgen,

ich kämpfe derzeit etwas mit einer Definition in meinem Skript zur Linearen Algebra.
Und zwar:

Sei

K

ein Körper und

V, W

zwei endlich erzgute K-Vektorräume. Weiterhin sei

B = (v_{1}, ..., v_{n})

eine Basis von

V

und

C = (w_{1}, ..., w_{m})

eine Basis von W.

φ

sei ein Homomorphismus

φ : V \to W

.
(Und jetzt der Teil wo ich Probleme habe:-) Für jdes

v_{j}

gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten

a_{1, j}, ... a_{m, j} \in K

mit

φ (v_{j}) = a_{1, j} \cdot w_{1} + . .

+ a_{m, j} \cdot w_{m}

Diese

a_{i j}

definieren eine Matrix

M_{B, C} (φ) = (\begin{matrix} a_{1, 1} & ... & a_{1, n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m, 1} & ... & a_{m, n} \end{matrix})

Und nun repräsentiert

M_{B, C} (φ)

den Homomorphismus

φ

bezüglich der Basen

B

und C.

Soo:
Wie muss ich mir dieses gewählte

v_{j}

vorstellen? Ist das ein Vektor aus V? Weil angekommen ich nehme

v_{1},

dann ließe sich dieser nach Definition durch

φ (v_{1}) = a_{1,1} \cdot w_{1} + a_{2,1} \cdot w_{2} + . .

+ a_{m,1} \cdot w_{m}

darstellen, was aber doch in der Matrix nur der ersten Spalte entspräche?

Kann mir das jemand erläutern bitte?
Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

13:36 Uhr, 19.02.2013

Die

v_{j}

sollen Vektoren aus der Basis

B

des Vektorraums

V

sein.
Also:
Ja, das ist ein Vektor aus V.
Und ja, mit

v_{1}

erhält man nur eine Spalte der Matrix. Man hat aber auch noch die Vektoren

v_{2}, ...,

welche für die anderen

(n - 1)

Spalten der Matrix verantwortlich sind.

Ich schreibe hier vielleicht gleich noch ein Beispiel.
Dann wird das ganze evtl. klarer.

Edit: "2013-02-19 13:59"

Nehmen wir mal folgendes Beispiel:

V = ℝ^{3}

Mit der Basis

B

von

V :

B = (v_{1}, v_{2}, v_{3})

wobei

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

W = ℝ^{2}

Mit der Basis

C

von

W :

C = (w_{1}, w_{2})

wobei

w_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}), w_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

Die Abbildung

φ : V \to W

sei definiert durch:

φ \in H o m (V, W)

φ (v_{1}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}), φ (v_{2}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix}), φ (v_{3}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

Dann gilt:

φ (v_{1}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = - 1 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = - 1 \cdot w_{1} + 4 \cdot w_{2}

Also:

a_{1, 1} = - 1

und

a_{2, 1} = 4

φ (v_{2}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix}) = - 2 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = - 2 \cdot w_{2} = 0 \cdot w_{1} + (- 2) \cdot w_{2}

Also:

a_{1, 2} = 0

und

a_{2, 2} = - 2

φ (v_{3}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = 1 \cdot w_{2} = 0 \cdot w_{1} + 1 \cdot w_{2}

Also:

a_{1, 3} = 0

und

a_{2, 3} = 1

Daher ergibt sich nach der Definition für die Matrix

M_{B, C} (φ) :

M_{B, C} (φ) = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 2 & 1 \end{matrix})

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17:00 Uhr, 20.02.2013

Ich danke für die ausführliche Erklärung, ich denke, dass es das war was für mein Verständnis gefehlt hat ;-)

Liebe Grüße!

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