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Matrix anhand Funktion aufstellen

Universität / Fachhochschule

14:05 Uhr, 01.04.2010

Hallo,

eine sicher einfache frage für euch pro´s:

wie komme ich von der quadratischen form q(x) = 2xy + 2xz + 2yz zu folgender matrix?

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})$

das ziel ist die berechnung der eigenvektoren - das bekomme ich aber zum glück hin.

eine einfache regel würde mir sehr helfen.

vielen dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

15:30 Uhr, 01.04.2010

Hallo,
die allgemeine Form einer quadratischen Form mit drei Variablen und ohne linearen Teil in Matrizenschreibweise lautet ja:

x^{T} A x + g = (\begin{array}{c} x y z \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) + g = a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + 2 d x y + 2 e x z + 2 f y z + g = 0

das wurde also einfach ausmultipliziert. Bei quadratischen Formen ist die Matrix

A

immer symmetrisch.

16:51 Uhr, 01.04.2010

danke - das hilft schon weiter - es wäre noch super, wenn mir jemand ein kleines beispiel anhand anderer zahlenwerte geben könnte

vielen dank

17:25 Uhr, 01.04.2010

Wo genau liegt den dein Problem?

Wenn ich dein Beispiel betrachte:

q (x) = 2 x y + 2 x z + 2 y z

und es mit der allgemeinen Form vergleiche:

q (x) = a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + 2 d x y + 2 e x z + 2 f y z + g

(das

x

q (x)

steht für den Vektor

x = (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

)

gilt:

a = 0, b = 0, c = 0, d = 1, e = 1, f = 1 . g = 0

diese Werte in die allgemeine symmetrische Matrix

A = (\begin{array}{ccc} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{array})

eingesetzt, ergibt:

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})

Hier hast du noch zwei Beispiele, die du ja selbst überprüfen kannst:

1.)

16 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} + 40 x z - 36 = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} A = (\begin{array}{ccc} 16 & 0 & 20 \\ 0 & 9 & 0 \\ 20 & 0 & 16 \end{array})

2.)

- x^{2} - y^{2} + 2 z^{2} + 6 x y + 4 = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} A = (\begin{array}{ccc} - 1 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

17:33 Uhr, 01.04.2010

jetzt hab ich es gerafft - ich stell mich auch manchmal blöd an

schöne grüße,

garfield05

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