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Matrix bei 5Bedingungen

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Ganzrationale Funktion, Genauigkeit, Grad, Matrix

 
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TermX

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15:34 Uhr, 14.02.2014

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Hi, ich kann ja mit dem Taschenrechner eine Matrix aufstelle und daraus eine ganzrationale Funktion bestimmen.
Wenn ich nun 5Bedingungen habe (5Punkte durch die die Funktion geht) kann ich ja die ganzrationale Funktion 4. Grades erstellen.

Meine Frage ist nun, ob die Funktion dann genau durch diese 5Punkte geht.
Bei der Regression ist es ja so, dass der GTR versucht eine Funktion mit möglichst geringer Abweichung an die Punkte zu legen.

Bei der Matrix ist es doch so, dass der Graph dann auch tatsächlich durch die Punkte geht, oder liege ich damit falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Werner-Salomon

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20:54 Uhr, 14.02.2014

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Hallo TermX,

Du liegst da genau richtig.
Ein Polynom n-ten Grades hat n+1 Parameter. Z.B. 3.Grades:
f(x)=ax3+bx2+cx+d
d.h. Du benötigst n+1 Informationen/Bedingungen, um es eindeutig zu bestimmen. Und das gefundene Polynom erfüllt dann auch alle Bedingungen, d.h. geht durch alle Punkte.

Gruß
Werner
TermX

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17:25 Uhr, 15.02.2014

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Ok, dann sind, wenn ich eine Matrix aufstelle und löse alle Bedingungen die ich dafür verwendet habe in der "Lösungsfunktionsgleichung" gegeben.
Und das ist dann auch immer so.

Wie ist es dann bei der Regression? Da versucht ja der GTR eine Funktion (1. 2. 3. ...Grades) durch die Punkte zu legen. Da kann es aber doch vorkommen, dass einige Punkte, die danach der Graph hat von den gegebenen abweichen.
Wenn ich jetzt mit genau den selben Punkten eine Matrix erstelle (und die Regression von diesen etwas abgewichen ist) weicht die Matrix dagegen nicht ab.
Wäre das so richtig?

Bei der Matrix ist halt der Nachteil, dass ich für eine Funktion z.b. 3.Grades "nur" 4Bedingungen benutzen kann. Wenn ich eine 5. Bedingung benutzen will, muss ich eine Funktion 4.Grades verwenden.
Bei der Regression kann ich (übertrieben gesagt) 100 Bedingungen (Punkte) für eine Funktion 2.Grades angeben und der GTR berechnet mir dann die Funktion, die am wenigsten von allen Punkten abweicht.
Richtig?
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Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

17:47 Uhr, 16.02.2014

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Hallo TermX,

Ich habe irgendwie das Gefühl, dass Du Dich von dem GTR und dem Gedanken an die Matrix trennen solltest. Es geht um das Verständnis, was da überhaupt passiert.

Zunächst mal hat jede Art von Funktion eine fest vorgegebene Zahl von Parametern. Bei einem Polynom n'ten Grades sind es n+1 Parameter. Bei einem Kegelschnitt sind es im Allgemeinen 5 Parameter. Bei anderen Funktionen - z.B. endliche Reihen mit sin- bzw. cos- kann es eine andere Anzahl von Parametern sein.
Um irgendeine dieser Funktionen eindeutig(!) zu bestimmen, d.h. alle Parameter mit ihren Werten zu berechnen, benötigst Du immer mindestens genau so viel Bedingungen, wie diese Funktionsart Parameter hat.
Im Falle eines Polynoms n'ten Grades mit n+1 Parametern, und n+1 gegebenen Punkten erhältst Du ein lineares Gleichungssystem n+1'ten Grades; und das ist dann das, was Du immer als 'Matrix' bezeichnet.
Das muss aber keineswegs so sein, wenn die Bedingungen anders gegeben sind, kannst Du auch Gleichungssysteme mit nicht linearen Anteilen bekommen. Dann hast Du auch keine Matrix mehr.

Betrachten wir jetzt mal den Fall, dass Du mehr Punkte als Parameter hast. Dann existiert im Allgemeinen kein Parametersatz, der zu einer Funktion führt, der alle Punkte - bzw. allgemeiner - alle Bedingungen trifft. Durch drei oder mehr allgemein ausgesuchte Punkte lässt sich i.A. keine Gerade ziehen. Genauso wenig wie ein Polynom 3.Grades i.A. durch 5 vorgegeben Punkte gehen kann.

Dann macht man das, was als Regression bekannt ist. "Regression" kommt vom lateinischen Verb regredi "zurück gehen". Hier ist damit Anzahl der freien Parameter gemeint, die reduziert wird.
Man versucht einen reduzierten Parametersatz zu finden, der die Bedingungen (also die Punkte) 'möglichst gut' trifft. Wobei 'möglich gut' noch mathematisch zu definieren ist.
Im Allgemeinen wird hier das Minimum aller Fehlerquadrate benutzt. (siehe de.wikipedia.org/wiki/Ausgleichungsrechnung

Umgekehrt kann man sagen, dass die Berechnung einer Funktion mit m Parametern aus genau m Bedingungen (Punkten) nur ein Sonderfall der Regression darstellt.
Diese gibt ja nur vor, dass es mindestens m Punkte sein müssen.

Insofern ist das was Du oben annimmst korrekt. Du tust Dich aber leichter, wenn Du es allgemeiner betrachtest. D.h. immer die "best mögliche" Funktion betrachtest.

Gruß
Werner

Frage beantwortet
TermX

TermX aktiv_icon

17:13 Uhr, 18.02.2014

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Ok, danke für die Erklärung.