Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Matrix bestimmen mit Diagonalmatrix

Matrix bestimmen mit Diagonalmatrix

Schüler Realschule,

Tags: Algebra, Matrix, Matrixgleichung, Matrixmultiplikation, Nullmatrix, Nullstell

Jan966 aktiv_icon

23:31 Uhr, 25.09.2023

Eine Matrix bestimmen in der gilt:

A = (- 13 - 2,43 - 4)

BC = AB

B

darf keine Nullmatrix sein.

C

soll eine Diagonalmatrix sein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Roman-22

23:54 Uhr, 25.09.2023

Du sollst also A diagonalisieren.
Vielleicht hilft dir dieser Link
de.wikipedia.org/wiki/Diagonalisierbare_Matrix#Diagonalisierung
oder du suchst andere unter dem Stichwort "Diagonalisierung"

Bei Wiki entspricht die Matrix

S

der Matrix

B

in deiner Aufgabe und die Matrix

D_{A}

ist die Diagonalmatrix

C

Jan966 aktiv_icon

09:34 Uhr, 26.09.2023

Ich habe zu erst die Determinante bestimmt:

det (A) =

((-13-λ,

- 2), (43,

-4-λ))

= (-13-λ)

\cdot

(-4-λ)

- (- 2) \cdot (43)

= 52 +

13λ

+

4λ

+

λ^2

+ 86

= λ^2+17λ+138

= 0

Mit der Pq Formel ergibt das nun:

λ

= - \frac{17}{2} \pm

√(17/2)^2

- 138

= - \frac{17}{2} \pm

√-65,75

= - 8,5 \pm 8,108637370 i

Wie rechne ich den Eigenvektor aus? Und was ist dann die diagonalisierte Matrix? Und wie berechne ich dann B?

Roman-22

15:40 Uhr, 26.09.2023

Bist du dir bzgl der Angabe sicher, dass

A = (\begin{matrix} - 13 & - 2 \\ 43 & - 4 \end{matrix})

?
Die Ergebnisse werden da nicht sonderlich "schön".
Und ist das tatsächlich eine Aufgabe, die man einem Schüler einer Realschule stellt??

Wie auch immer, ja, die Eigenwerte von A sind

λ_{1,2} = \frac{1}{2} \cdot (- 17 \pm \sqrt{263} \cdot i)

Bzgl der Eigenvektoren siehe zB de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren#Berechnung_der_Eigenvektoren

Im Gegensatz zu den Eigenwerten sind die zugehörigen Eigenvektoren nicht eindeutig.
Die Matrix

B

wird dann spaltenweise aus den zwei normierten (Länge

1)

Eigenvektoren gebildet, die Matrix

C

ist eine Diagonalmatrix mit den beiden Eigenwerten als Diagonalelementen.

Könnte also

B = \frac{\sqrt{215}}{15} \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{86} \cdot (- 9 - \sqrt{263} \cdot i) & \frac{1}{86} \cdot (- 9 + \sqrt{263} \cdot i) \\ 1 & 1 \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} - 0,1023 - 0,18433 i & - 0,1023 + 0,18433 i \\ 0,97753 & 0,97753 \end{matrix})

und

C = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 17 - \sqrt{263} \cdot i & 0 \\ 0 & - 17 + \sqrt{263} \cdot i \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} - 8,5 - 8,10864 i & 0 \\ 0 & - 8,5 + 8,10864 i \end{matrix})

sein.
Mit diesen Matrizen gilt

B \cdot C \cdot B^{- 1} = A

oder eben

B \cdot C = A \cdot B

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1576237

1576220

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?