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Matrix diagonalisieren

Universität / Fachhochschule

12:33 Uhr, 27.05.2017

Hey,

ich möchte die erste Matrix diagonalisieren und soll eine neue Basis finden.

Die Basis sind ja die Eigenvektoren, die hab ich schon

T = (101), (0, (\frac{1}{2}),1) (2,1,0)

und die eigenwerte sind

x_{1} = - 2, x_{2} = 0, x_{3} = 2

.
Aber jetzt komm ich nicht weiter.

Wir hatten in der Übung die Formel

M \cdot A \cdot

Inversematrix M=Diagonale von den EW von

A . .

. Aber wenn ich das jetzt nachrechne und prüfe komme ich nicht auf dieses Ergebnis.

ich hab so gerechnet :
die neue Matrix

T \cdot D_{s} (φ) \cdot T^{1} =

diagonalmatrix mit EW ..
Ich muss erst glaube ich die neue Basis

T

auf

D_{s} (φ)

anwenden, oder?

Wie kann ich die neue Basis auf die die

D_{s} (φ)

anwenden? Ich habe gerade voll das Brett vor dem Kopf und wäre über ein bisschen Hilfe sehr dankbar :-D) liebe grüße und danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

17:25 Uhr, 27.05.2017

Ich erhalte die gleichen Eigenwerte und Eigenvektoren.
Du hast also:

...

den Eigenvektor

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

bzgl. dem Eigenwert

x_{1} = - 2

...

den Eigenvektor

(\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix})

bzgl. dem Eigenwert

x_{2} = 0

...

den Eigenvektor

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

bzgl. dem Eigenwert

x_{3} = 2

.

Demnach ist

T = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}

eine Basis, wie sie gesucht wurde.
Die Eigenvektoren kann man auch in Form einer Matrix zusammenfassen:

τ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})

Zur Kontrolle, was jedoch nicht in der Aufgabenstellung verlangt wird, erhält man:

D_{S, S} (φ) = τ \cdot D_{T, T} (φ) \cdot τ^{- 1}

bzw.

τ^{- 1} \cdot D_{S, S} (φ) \cdot τ = D_{T, T} (φ)

bzw.

M \cdot D_{S, S} (φ) \cdot M^{- 1} = D_{T, T} (φ)

mit

M = τ^{- 1}

.

Es ist:

τ^{- 1} \cdot D_{S, S} (φ) \cdot τ = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & - 1 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 4 & - 2 \\ \frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{2} \\ - 1 & 2 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) = D_{T, T} (φ)

11:07 Uhr, 29.05.2017

danke :-)
hab mir die formel falsch aufgeschrieben.. :-D) jetzt versteh ich das auch! danke für Deine Zeit

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