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Matrix ganze Zahle so auch Determinante ganze Zahl

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Determinanten, Vollständig Induktion

Induktion90 aktiv_icon

10:44 Uhr, 24.06.2014

Zeigen Sie: Ist

A \in M (n \times n, ℚ)

und sind alle Einträge der Matrix ganze Zahlen, so ist det(A) auch eine ganze Zahl. (Hinweis: vollständige Induktion nach n)

Also ich habe die Vollständige Induktion mal angefangen:
1) Induktionsanfang: für n=1

1 \times 1 M a t r i x

==> det(A)=1 ==> beide ganze Zahlen
2) Induktionsschritt:
Wir nehmen an, die Aussage gelte für

n \in ℚ

dann gilt:
n = n+1

Meine Frage ist nun wie ich diese Aussage beweisen muss? Ich habe ja keine Formel mit der ich arbeiten kann sondern eine

n \times n

matrix.
MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:21 Uhr, 24.06.2014

"Meine Frage ist nun wie ich diese Aussage beweisen muss?"

Hinweis: Determinante nach einer Spalte (oder Zeile) entwickeln.

Induktion90 aktiv_icon

11:54 Uhr, 24.06.2014

Ah du meinst bestimmt den Laplace'schen Entwicklungssatz nach der i-ten Zeile.

d e t (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j}

So und dann wäre ja n+1 so:

d e t (A) = \sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j}

d e t (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j} + a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j}

Oder?

DrBoogie aktiv_icon

16:36 Uhr, 24.06.2014

Auf jeden Fall kannst Du so eine

(n + 1)

-Determinante als eine lineare Kombination von

n

-Determinanten mit ganzen Koeffizienten darstellen, und dann ist der Induktionsschritt schon offensichtlich.

Induktion90 aktiv_icon

12:46 Uhr, 25.06.2014

Sorry ich steh grad noch auf dem Schlauch.
Ich nehme n = ganze Zahl
Dann gilt;

d e t (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j}

ist gleich einer ganzen Zahl.
Jetzt will ich beweisen das n = n+1 gilt.
Dafür nehme ich ja diese Formel:

d e t (A) = \sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j}

d e t (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j} + a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j}

Das wäre ja dann:

d e t (A) = g a n z e Z a h l + a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j}

Wie beweise ich jetzt das

a_{i k} * (- 1)^{i + k} * D_{i j}

eine ganze Zahl ist?

Matlog aktiv_icon

14:05 Uhr, 25.06.2014

Puh, das ist echt zum Haareraufen, was Du da aufschreibst (formal und inhaltlich)!

Das Prinzip der Induktion scheinst Du ja verstanden zu haben, aber wie Du das formal aufschreibst...
"Jetzt will ich beweisen das

n = n + 1

gilt."
Sag Bescheid, wenn Du das geschafft hast. (Sorry für den Sarkasmus!)

Der Induktionsschritt ist mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz sehr einfach. Das geht aber nur, wenn Du diesen zunächst RICHTIG aufschreibst!

Induktion90 aktiv_icon

14:51 Uhr, 25.06.2014

Ok ich gehe jetzt nochmal alles schritt für schritt durch:
1) IA: Für n=1

A \in M (1 \times 1) \Rightarrow d e t (A) = 1 \Rightarrow

Sowohl A als auch det(A) ist eine ganze Zahl.
2) IS: Wenn n=k wahr ist, auch n=k+1 war sein muss.
2a) IV:

A \in M (k \times k)

ist wahr für ein bestimmtes

k \in ℚ

2b) Beweis des Induktionsschritts mithilfe des Laplace Entwicklungssatz:

\sum_{j = 1}^{k + 1} a_{(k + 1) j} * (- 1)^{(k + 1) + j} * D_{(k + 1) j}

Ist das soweit erstmal richtig? Bevor ich mich hier wieder um Kopf und kragen vertippe :-)

Matlog aktiv_icon

16:12 Uhr, 25.06.2014

Das sieht schon besser aus.

Die Unterscheidung zwischen

n

und

k

verstehe ich nicht ganz, aber egal.
Beim IA schreibst Du

det (A) = 1

. Warum das?
In der IV meinst Du wohl

k \in ℕ

.

Beim Entwicklungssatz hast Du nun nach der letzten Zeile entwickelt, wenn ich das richtig sehe. Du musst jetzt nur noch kurz beschreiben, was

D_{(k + 1) j}

bedeuten soll.

Induktion90 aktiv_icon

16:52 Uhr, 25.06.2014

Bei

d e t (A) = 1

müsste ich noch dazu schreiben das alle Werte in der Matrix eine gerade Zahl (in dem Fall 1) sind und somit auch die

d e t (A) = 1

ist! Danke für den Hinweis!
Ja stimmt

k \in ℚ

würde ja kein Sinn ergeben, da wir ja ganze Zahlen suchen.
Naja

D_{(k + 1), j}

ist ja die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die (k+1)-te Zeile und die j-te Spalte streicht. Muss ich das noch anders beschreiben?

Matlog aktiv_icon

16:59 Uhr, 25.06.2014

"Muss ich das noch anders beschreiben?"
Nein, das reicht. Aber Du solltest sagen, wieviele Zeilen und Spalten die Matrizen haben, deren Determinanten durch

D_{(k + 1) j}

angegeben sind.

Zum IA:
Wenn

A = (a_{11}),

was ist dann

det (A)

Induktion90 aktiv_icon

19:44 Uhr, 25.06.2014

Hm also man streicht ja die (k+1)te zeile und die j-te Spalte. Übrig bleib ja dann eine Matrix

D_{(k + 1) j} = (n - (k + 1) \times n - j)

Wenn

A = (a_{11})

dann ist

d e t (A) = (a_{11})

Matlog aktiv_icon

01:10 Uhr, 26.06.2014

Jetzt ist der IA richtig. Die Determinante ist nicht

1,

aber

a_{11}

ist auch eine ganze Zahl, also alles in Ordnung.

D_{(k + 1) j} = (n - (k + 1) x n - j)

ist natürlich völliger Unsinn!
Es wird zwar die (k+1)-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen, aber das ist doch nur eine Zeile und eine Spalte, die gestrichen werden.

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