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Matrix geordnete Base zeigen

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Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Eigenwert, Matrizenrechnung

KikiS

19:52 Uhr, 18.10.2018

Guten Abend zusammen,
folgend habe ich eine kleine Aufgabe, an der ich am Punkt

d)

eine Frage habe.
Könntet ihr bitte einen Blick über die Aufgabe werfen? Danke sehr!

Sei

A = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix}) \in

Mat_

ℝ (3 x 3)

a)

Zeigen Sie, dass

σ (A) = {2}

ist.

Klar, charak. Polynom bestimmen, ergibt

λ = 2

b)

Bestimmen Sie eine Basis

E_{A} (λ)

=Ker(A-2

E_{3})

Erhalte ich Basis

B = < (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) >

c)

Bestimmen Sie eine Basis von Ker((

A - 2 E_{3})^{2})

B = < (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) >

d)

Wählen Sie nun ein konkretes Element

v_{1} \in ℝ^{3}

mit

v_{1} \notin

Ker((A

- 2 E_{3})^{2}),

und setzten

v_{2} := (A - 2 E_{3}) \cdot v_{1}

und

v_{3} := (A - 2 E_{3}) \cdot v_{2}

.
Zeigen Sie, dass

B := (v_{1}, v_{2}, v_{3})

eine geordnete Basis von

ℝ^{3}

ist.

Hier hab ich einen kleinen Hänger: ich kann keinen der drei Vektoren in den Basen verwenden, da alle im Kern ((…)^2) enthalten sind.
Kann ich jetzt als

v_{1}

einfach den Einheitsvektor

e_{1}

wählen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

23:38 Uhr, 18.10.2018

Hallo
da steht doch du sollst

v_{1}

NICHT aus dem Kern nehmen. und dann wie du

v_{2}

und

v_{3}

bestimmen sollst. wieso Ligen die alle im Kern?
ja

e_{1}

liegt nicht im Kern, wie verlangt , also kannst du

e 1

als

v_{1}

nehmen.
Gruß ledum

KikiS

22:52 Uhr, 19.10.2018

Hallo ledum,
ich danke Dir für Deine Antwort.
War nur stutzig geworden, dass ich keinen meiner drei berechneten Vektoren verwenden konnte. Ich dachte zu Beginn, ich müsste einen von den nutzen.

Eine Rückfrage habe ich noch dazu: Wie zeige ich, dass

B := (v_{1}, v_{2}, v_{3})

eine geordnete Basis ist? Ich hab jetzt schon dazu gelesen, dass es reicht zu sagen, die Vektoren haben Indizes und sind somit in einer festen Reihenfolge. Auch, dass die runden Klammern entscheidend sind anstatt der geschweiften. Doch gilt das als "Beweis"?

Nun hatte ich noch Teil

e)

"Sei

P

die Matrix, welche aus den Spalten

v_{1}, v_{2}, v_{3}

besteht. Bestimmen Sie

P^{- 1} \cdot A \cdot P

und zeigen Sie, dass die Matrix nicht ähnlich ist zu der Matrix

C := (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

.
Dies ist natürlich offensichtlich äquivalent dazu, dass die beiden Matrizen A aus Aufgabe

3 [

Matrix A aus Aufgabe

3 : A_{3} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix})]

und

4 [A_{4}

ist die Matrix A aus dem ersten Post dieser Aufgabe

]

nicht ähnlich sind."

B := P^{- 1} \cdot A \cdot P = (\begin{matrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) = (E_{3})

. Da

B

die Einheitsmatrix ist, sind natürlich die Eigenwerte zu

B : λ_{B} = 1

.

Zur gegebenen Matrix

C

sind die EW

λ_{C} = 2

.

Das reicht doch als Begründung oder? In welchem Zusammenhang stehen jetzt

A_{3}

und

A_{4}

mit meiner definierten Matrix B?

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