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Matrix in charakteristisches Polynom

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Charakteristisches Polynom, Eigenwert

Gina25 aktiv_icon

15:47 Uhr, 02.02.2017

Hallo,

ich bin gerade über einer Aufgabe und komme leider nicht weiter... kann mir bitte jemand Tipps geben?

Die Aufgabe ist:

Sei A eine nxn-Matrix mit Einträgen in

K

und

λ

Element von

K

ein Eigenwert von

f (A) : K^{n} \to K^{n}

. Sei

P

Element

K [T]

ein Polynom und

P (A)

die nxn-Matrix, die man durch Einsetzen von

A \in P

erhält. Zeigen Sie, dass P(lambda)ein Eigenwert der Abbildung

f (P (A)) : K^{n} \to K^{n}

ist.

Mein Gedanke ist hier nun, zu zeigen, dass

P (A)

und A ähnlich sind und daraus auch folgt, dass sie das selbe charakteristische Polynom und die selben Eigenwerte haben. Ich komm nur leider nicht weiter, wie ich zeigen kann, dass sie auch ähnlich sind. Kann auch sein, dass ich hier komplett falsch liege....

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

michaL aktiv_icon

16:02 Uhr, 02.02.2017

Hallo,

> Mein Gedanke ist hier nun, zu zeigen, dass P(A) und A ähnlich sind und daraus auch folgt, dass sie das selbe
> charakteristische Polynom und die selben Eigenwerte haben.

Was leider durch ein einfaches Gegenbeispiel widerlegt werden kann:
Sei

λ \in K

ein Eigenwert von

A

. Wie du weißt, heißt das, dass es ein

v \in K^{n}

(

v \neq 0

) gibt, sodass

A v = λ v

gilt.

Was ist nun mit

A^{2} v = (A \cdot A) v = A (A v) =

?

Damit hast du dein Gegenbeispiel für deine Aussage (sofern du zwei/drei kleinere Umformungsschritte zu machen in der Lage warst), die im Übrigen so gar nicht zu der Aufgabenstellung passen will.

Aber in dem Gegenbeispiel liegt auch der Ansatz für eine Lösung der Aufgabe. Hast du berechnen können, was

A^{2} v

ergibt?

Mfg Michael

Gina25 aktiv_icon

18:27 Uhr, 02.02.2017

Hallo,

danke schonmal, ich habs ausgerechnet und ja... mein Ansatz war falsch

\frac{:}{}

ich hab jetzt mal

(A \cdot A) \cdot v \in A \cdot (λ v)

umgeformt, da

A (v)

wenn ich

s

richtig verstanden habe ja als

A (v) = λ v

angenommen wird. Allerdings weiß ich noch nicht wie mich das zur Lösung bringen kann, weil ich keinen Bezug zum charakteristischen Polynom sehe.
Vielleicht könntest du mir da noch einen Tipp geben?

Mfg
Gina

michaL aktiv_icon

19:01 Uhr, 02.02.2017

Hallo,

> ich hab jetzt mal

(A \cdot A) \cdot v = A \cdot (λ v)

umgeformt

Ok damit bist du eines der

A

"losgeworden".
Kannst du das andere auch verarbeiten?

> Allerdings weiß ich noch nicht wie mich das zur Lösung bringen kann, weil ich keinen Bezug zum
> charakteristischen Polynom sehe.

Klar. Du bist ja oben auch nicht mal die Hälfte des Wegs gegangen.
Mach das erst einmal fertig. In dem Ausdruck, den ich anstrebe, kommst die Matrix

A

nicht mehr vor,

v

und

λ

schon. Also

A^{2} v = A (λ v) = \dots

Mfg Michael

Gina25 aktiv_icon

15:58 Uhr, 04.02.2017

Hallo,

ich bin ja "schon" bei

A (λ v)

wenn ich es jetzt nochmal mit A multipliziere gibt es dann

λ^{2} v,

da ja

λ v

ein Vektor ist und ich

A (v) = λ \cdot v

weiß?

Wenn das stimmt habe ich dann ja, dass

A^{n} (v) = λ^{n} (v)

ist. Eingesetzt in das charakteristische Polynom also:

P (A) = z (n) \cdot A^{n} + . .

+ z (1) A^{1} + z (0) \cdot A^{0}

wenn ich es vereinfach ergibt sich also:

P (A) = (z (n) \cdot λ^{n} + . .

+ z (1) \cdot λ + z (0)) (v)

Wenn ich jetzt nur

λ

in das charakteristische Polynom einsetze erhalte ich

P (λ) = z (n) \cdot λ^{n} + . .

+ z (1) \cdot λ + z (0) = 0,

das

λ

ein Eigenwert des charakteristischen Polynoms ist.

Das bedeutet dann aber doch für

P (A)

auch, dass der gesamte Term vor

v 0

ist, und

0 \cdot v = 0,

also hat das Polynom hier an der Stelle

λ

auch eine Nullstelle

\to Λ

ist hier ein Eigenwert? Oder mache ich es mir hier etwas sehr einfach?

michaL aktiv_icon

19:36 Uhr, 04.02.2017

Hallo,

> Oder mache ich es mir hier etwas sehr einfach?

Sowohl, als auch genau das Gegenteil.

Einerseits:
>

A^{n} (v) = λ^{n} (v)

Das ist gut! Darauf wollte ich hinaus!
Andererseits:
> Eingesetzt in das charakteristische Polynom

Vom charakteristischen Polynom steht meines Erachtens in der Aufgabe nichts! Wie ich es verstanden habe, geht es um:
Sei

A \in K^{n \times n}

λ \in K

ein Eigenwert von

A

und

p \in K [x]

irgend ein (nicht konstantes) Polynom. Dann ist

p (λ)

Ein Eigenwert von

p (A)

.

Kein CHARAKTERISTISCHES Polynom!

Insofern bist du mit

A^{2} v = λ^{2} v

und induktiv halt

A^{n} v = λ^{n} v

schon gut dabei.
Und wenn du das hast, musst du nur noch zeigen, dass auch

p (A) v = p (λ) v

gilt. Da die Summen in

p (x)

aber endlich sind, ist das nur noch eine Frage der Linearität.

Alles klar?

Mfg Michael

Gina25 aktiv_icon

14:23 Uhr, 05.02.2017

Hallo,

danke für die Hilfe, ich hab die Aufgabe jetzt.

Mfg
Gina

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